Seja a função
f(x) = { 3 / (x - 1) , se x ≠ 1; 3 , se x = 1 }
A função f é contínua em x = 1 ?

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos uma função que é definida de duas maneiras diferentes, dependendo se é igual a 1 ou não. Queremos saber se essa função é contínua em . Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que envolve limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função é contínua em se:
Ou seja, o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1:
Observamos que quando se aproxima de 1, o denominador se aproxima de 0, o que faz com que a fração tende ao infinito ou menos infinito, dependendo da direção pela qual nos aproximamos de 1.

Passo 4

Vamos analisar o limite pela direita e pela esquerda:
  • Pela direita ( ):
    Quando se aproxima de 1 vindo de valores maiores que 1, é positivo e muito pequeno, então tende a .
  • Pela esquerda ( ):
    Quando se aproxima de 1 vindo de valores menores que 1, é negativo e muito pequeno, então tende a .
Como os limites pela direita e pela esquerda não são iguais (um tende a e o outro a ), o limite geral não existe.

Passo 5

Agora, comparamos o limite encontrado com o valor da função em :
Como o limite não existe, ele certamente não é igual a 3.

Resposta

A função não é contínua em .

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