Seja a função
A função
é contínua em
?
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos uma função
que é definida de duas maneiras diferentes, dependendo se
é igual a 1 ou não. Queremos saber se essa função é contínua em
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que envolve limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função
é contínua em
se:
Ou seja, o limite da função quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1:
Observamos que quando
se aproxima de 1, o denominador
se aproxima de 0, o que faz com que a fração
tende ao infinito ou menos infinito, dependendo da direção pela qual nos aproximamos de 1.
Passo 4
Vamos analisar o limite pela direita e pela esquerda:
-
Pela direita (
): Quandose aproxima de 1 vindo de valores maiores que 1, é positivo e muito pequeno, então tende a . -
Pela esquerda (
): Quandose aproxima de 1 vindo de valores menores que 1, é negativo e muito pequeno, então tende a .
Como os limites pela direita e pela esquerda não são iguais (um tende a
e o outro a
), o limite geral
não existe.
Passo 5
Agora, comparamos o limite encontrado com o valor da função em
:
Como o limite não existe, ele certamente não é igual a 3.
Resposta
A função
não é contínua em
.