Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral de uma fração racional, que envolve polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador para facilitar a fatoração. O denominador é . Podemos fatorar esse polinômio da seguinte forma:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Procuramos dois números que multiplicados dão (produto de ) e somados dão , que é o coeficiente do termo . Esses números são e .
Então:
Portanto, o denominador original fica:
Passo 3
Agora, reescrevemos a integral com a fatoração encontrada:
Passo 4
Para integrar a expressão , vamos usar frações parciais. Isso significa que queremos escrever a fração como a soma de duas frações mais simples:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de e . Para isso, escolhemos valores de que simplifiquem a equação.
Primeiro, escolhemos , que faz :
Segundo, escolhemos , que faz :
Passo 6
Agora que temos os valores de e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à nossa integral, temos:
Simplificando os coeficientes:
Distribuindo o :
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.