Calcule as integrais abaixo:
c) integral 3-2 x^2-x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral de uma fração racional, que envolve polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador para facilitar a fatoração. O denominador é -2x^2 - x + 1 = -(2x^2 + x - 1) . Podemos fatorar esse polinômio da seguinte forma:
2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático -2x^2 - x + 1 = -(2x - 1)(x + 1) . Procuramos dois números que multiplicados dão (produto de ) e somados dão , que é o coeficiente do termo . Esses números são e .
Então:
Portanto, o denominador original fica:

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com a fatoração encontrada:
integral 3-2x^2 - x + 1 , dx = integral 3-(2x - 1)(x + 1) , dx = -3 integral 1(2x - 1)(x + 1) , dx

Passo 4

Para integrar a expressão 1(2x - 1)(x + 1) = A2x - 1 + Bx + 1 , vamos usar frações parciais. Isso significa que queremos escrever a fração como a soma de duas frações mais simples:
1 = A(x + 1) + B(2x - 1)
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de 1 = A(12 + 1) + B(0) Rightarrow 1 = A(32) Rightarrow A = 23 e 1 = A(0) + B(2(-1) - 1) Rightarrow 1 = B(-3) Rightarrow B = -13 . Para isso, escolhemos valores de que simplifiquem a equação.
  • Primeiro, escolhemos , que faz :
  • Segundo, escolhemos , que faz :

Passo 6

Agora que temos os valores de 1(2x - 1)(x + 1) = 232x - 1 + -13x + 1 e 1(2x - 1)(x + 1) = 23(2x - 1) - 13(x + 1) , substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à nossa integral, temos:
-3 integral ( 23(2x - 1) - 13(x + 1) ) , dx = -3 ( 23 integral 12x - 1 , dx - 13 integral 1x + 1 , dx )
Simplificando os coeficientes:
-3 ( 23 cdot 12 ln|2x - 1| - 13 ln|x + 1| ) = -3 ( 13 ln|2x - 1| - 13 ln|x + 1| )
Distribuindo o - ln|2x - 1| + ln|x + 1| = ln|x + 1| - ln|2x - 1| :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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