Calcule, caso existam, as seguintes integrais:
.
(10 pts)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
de
a
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais de funções trigonométricas, especialmente de potências de cosssecante. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com integrais que envolvem potências ímpares de funções trig trigonométricas e analisar se a integral realmente existe.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o mesmo que
. Então, a integral fica assim:
Passo 3
Agora, precisamos analisar o comportamento dessa função no intervalo de integração. Sabemos que
, então
tende ao infinito. Isso significa que a função
tem uma assíntota vertical em
, o que pode causar problemas na integral.
Passo 4
Para ver se a integral existe, vamos verificar se a função é integrável nesse intervalo. Uma função com uma descontinuidade infinita como essa pode gerar uma integral imprópria. Para integrar, precisaríamos calcular os limites:
Passo 5
Observando esses limites, percebemos que, perto de
,
se comporta como
. A integral de
perto de zero é divergente porque a função tende ao infinito de forma muito rápida.
Resposta
A integral
não existe, pois ela diverge para o infinito.
Exercícios relacionados
Encontre o domínio da função.
Dos problemas 1 a 10, ache as assintotas horizontais e verticais do gráfico de cada função e trace o gráfico.
Calcule as integrais abaixo:
Verdadeiro ou falso?