Calcule, caso existam, as seguintes integrais: integral-pi / 4^pi / 4 cossec^7(x) d x.
(10 pts)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de csc^7(x) de -pi/4 a pi/4. Isso está relacionado ao cálculo de integrais de funções trigonométricas, especialmente de potências de cosssecante. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com integrais que envolvem potências ímpares de funções trig trigonométricas e analisar se a integral realmente existe.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que csc(x) é o mesmo que 1/sin(x). Então, a integral fica assim:
integral-pi/4^pi/4 csc^7(x) , dx = integral-pi/4^pi/4 1sin^7(x) , dx

Passo 3

Agora, precisamos analisar o comportamento dessa função no intervalo de integração. Sabemos que sin(0) = 0, então 1/sin^7(0) tende ao infinito. Isso significa que a função csc^7(x) tem uma assíntota vertical em x = 0, o que pode causar problemas na integral.

Passo 4

Para ver se a integral existe, vamos verificar se a função é integrável nesse intervalo. Uma função com uma descontinuidade infinita como essa pode gerar uma integral imprópria. Para integrar, precisaríamos calcular os limites:
lima to 0^- integral-pi/4^a csc^7(x) , dx e limb to 0^+ integralb^pi/4 csc^7(x) , dx

Passo 5

Observando esses limites, percebemos que, perto de x = 0, csc^7(x) se comporta como 1/x^7. A integral de 1/x^7 perto de zero é divergente porque a função tende ao infinito de forma muito rápida.

Resposta

A integral integral-pi/4^pi/4 csc^7(x) , dx não existe, pois ela diverge para o infinito.

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