Calcule as integrais abaixo: integral0^2(4-2 x)^10 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma integral que envolve funções polinomiais elevadas a uma potência. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição (também conhecida como método da troca de variável).

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar . Essa substituição vai ajudar a reduzir a complexidade da expressão.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -2 Rightarrow du = -2 , dx Rightarrow dx = -du2 em relação a para substituir o . Calculando:

Passo 4

Vamos também mudar os limites de integração de acordo com a substituição feita. Quando u = 4 - 2(0) = 4 :
u = 4 - 2(2) = 0
E quando :
Portanto, os novos limites são de a .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral0^2(4-2x)^10 , dx = integral4^0 u^10 (-du2) = 12 integral0^4 u^10 , du
Note que trocamos os limites de integração e o sinal negativo virou positivo.

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^10 , du = u^1111 + C em relação a :
Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos da constante .

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
12 [ u^1111 ]0^4 = 12 ( 4^1111 - 0^1111 ) = 4^1122

Resposta

A integral é igual a .

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