Verdadeiro ou falso? (integralx^0 f(t) d t)^prime=-f(x)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a expressão (integralx^0 f(t) , dt)^prime e queremos saber se isso é igual a -f(x). Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas e integrais. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que se F(x) = integrala^x f(t) , dt, então F^prime(x) = f(x). Mas atenção: na nossa integral, o limite inferior é x e o superior é 0, diferente do que o teorema usual apresenta.

Passo 3

Quando os limites de integração envolvem a variável que está sendo derivada, precisamos aplicar a regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis. A regra geral é:
ddx ( integralu(x)^v(x) f(t) , dt ) = f(v(x)) cdot v^prime(x) - f(u(x)) cdot u^prime(x)
No nosso caso, u(x) = x e v(x) = 0. Vamos aplicar essa regra.

Passo 4

Aplicando a regra:
(integralx^0 f(t) , dt)^prime = f(0) cdot 0' - f(x) cdot 1 = 0 - f(x) = -f(x)
Aqui, v'(x) = 0 porque v(x) = 0 é constante, e u'(x) = 1 porque u(x) = x.

Resposta

Verdadeiro. (integralx^0 f(t) , dt)^prime = -f(x)

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