Dos problemas 1 a 10, ache as assintotas horizontais e verticais do gráfico de cada função e trace o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
. Isso faz parte da matéria de cálculo de funções racionais e análise de limites, que nos ajuda a entender o comportamento de uma função quando
cresce para o infinito ou se aproxima de certos valores.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar pelas assíntotas verticais. Essas assíntotas aparecem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero (desde que o numerador não seja zero no mesmo ponto).
Nossa função é:
Vamos analisar o denominador:
Para que o denominador seja zero:
Resolvendo para
:
Aqui, percebemos que não existe nenhum número real que satisfaça essa equação, já que o quadrado de um número real sempre é positivo, e não pode ser igual a um número negativo. Portanto, não há assíntotas verticais para essa função.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas indicam o comportamento da função quando
vai para
ou
.
Para isso, calculamos o limite da função quando
tende a
e a
.
Podemos simplificar essa expressão dividindo o numerador e o denominador por
:
À medida que
cresce para
ou
, o termo
tende a zero:
Portanto, a função se aproxima de
quando
vai para
ou
.
Resposta
A função
não possui assíntotas verticais e possui uma assíntota horizontal em
.
Exercícios relacionados
Nos problemas 1 a 22, calcule o limite.
Nos problemas 1 a 22, calcule o limite.
Encontre o domínio da função.
Calcule, caso existam, as seguintes integrais:
.
(10 pts)
(10 pts)