Calcule, caso existam, as seguintes integrais: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria aqui é de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades das funções ímpares e analisar o comportamento da função no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função é igual a . Então, é . Agora, vamos verificar se essa função é ímpar ou par. Uma função é ímpar se .
Para :
Então,
Isso mostra que é uma função ímpar.

Passo 3

Quando temos uma função ímpar e integramos sobre um intervalo simétrico em relação à origem, ou seja, de a , a integral resulta em zero. Isso porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
Então, se a função for contínua no intervalo , teremos:

Passo 4

Mas, atenção! Precisamos verificar se a função é contínua no intervalo . Sabemos que tem descontinuidades onde , ou seja, em . No nosso intervalo, está incluso, então a função tem uma descontinuidade ali.

Passo 5

Isso significa que a integral é impropria, pois a função tende ao infinito quando se aproxima de 0. Para saber se a integral existe, precisamos analisar o comportamento da função perto de 0.

Passo 6

Vamos observar que perto de , , então:
A integral de próximo a 0 é divergente, ou seja, tende ao infinito.

Resposta

A integral não existe porque é divergente.

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