Calcule, caso existam, as seguintes integrais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A matéria aqui é de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades das funções ímpares e analisar o comportamento da função
no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
é igual a
. Então,
é
. Agora, vamos verificar se essa função é ímpar ou par. Uma função
é ímpar se
.
Para
:
Então,
Isso mostra que
é uma função ímpar.
Passo 3
Quando temos uma função ímpar e integramos sobre um intervalo simétrico em relação à origem, ou seja, de
a
, a integral resulta em zero. Isso porque as áreas positivas e negativas se cancelam.
Então, se a função
for contínua no intervalo
, teremos:
Passo 4
Mas, atenção! Precisamos verificar se a função
é contínua no intervalo
. Sabemos que
tem descontinuidades onde
, ou seja, em
. No nosso intervalo,
está incluso, então a função tem uma descontinuidade ali.
Passo 5
Isso significa que a integral é impropria, pois a função tende ao infinito quando
se aproxima de 0. Para saber se a integral existe, precisamos analisar o comportamento da função perto de 0.
Passo 6
Vamos observar que perto de
,
, então:
A integral de
próximo a 0 é divergente, ou seja, tende ao infinito.
Resposta
A integral
não existe porque é divergente.
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Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Calcule, caso existam, as seguintes integrais:
(EXTRA) Suponha que uma formiga se desloque do ponto
até o ponto
ao longo da curva
. Qual foi a distância percorrida pela formiga ao longo dessa trajetória? Justifique sua resposta.
Uma função pode ter duas assíntotas horizontais distintas.