Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral x^3 cot (x^4+2) d x

Passo 1

Então, temos que calcular a integral indefinida integral x^3 cot (x^4+2) dx. Vamos utilizar o método de substituição, que é uma técnica de integração onde a gente troca uma parte da expressão por uma nova variável para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a função dentro do cosseno, vemos que x^4 + 2 é uma boa candidata para substituição. Vamos definir:
u = x^4 + 2

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du. Derivando u:
dudx = 4x^3
Então, podemos escrever:
du = 4x^3 dx
Dessa forma, isolamos x^3 dx:
x^3 dx = du4

Passo 4

Vamos substituir u e x^3 dx na integral original:
integral x^3 cot(x^4 + 2) dx = integral cot(u) cdot du4 = 14 integral cot(u) du

Passo 5

Agora, precisamos integrar cot(u). Lembrando que:
integral cot(u) du = ln|sin(u)| + C
Então, substituindo na nossa expressão:
14 integral cot(u) du = 14 ln|sin(u)| + C

Passo 6

Por fim, voltamos à nossa variável original substituindo u de volta para x:
14 ln|sin(u)| + C = 14 ln|sin(x^4 + 2)| + C

Resposta

A integral é igual a 14 ln|sin(x^4 + 2)| + C.

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