Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Então, temos que calcular a integral indefinida
. Vamos utilizar o método de substituição, que é uma técnica de integração onde a gente troca uma parte da expressão por uma nova variável para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olhando para a função dentro do cosseno, vemos que
é uma boa candidata para substituição. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
. Derivando
:
Então, podemos escrever:
Dessa forma, isolamos
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Lembrando que:
Então, substituindo na nossa expressão:
Passo 6
Por fim, voltamos à nossa variável original substituindo
de volta para
:
Resposta
A integral é igual a
.
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.
(EXTRA) Suponha que uma formiga se desloque do ponto
até o ponto
ao longo da curva
. Qual foi a distância percorrida pela formiga ao longo dessa trajetória? Justifique sua resposta.