Calcule, caso existam, as seguintes integrais: integral0^2(x^3+x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 2. Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente a integração de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Vamos começar integrando cada termo da função separadamente. A integral de uma soma é igual à soma das integrais. Então, temos:
integral (x^3 + x) , dx = integral x^3 , dx + integral x , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C e individualmente. Para integrar , usamos a regra:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa regra:
integral x^3 , dx = x^44 + C
integral x , dx = x^22 + C

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão original:
integral (x^3 + x) , dx = x^44 + x^22 + C

Passo 6

Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 2, vamos avaliar essa antiderivada nesses limites:
[ x^44 + x^22 ]0^2

Passo 7

Primeiro, substituímos 2^44 + 2^22 = 164 + 42 = 4 + 2 = 6 :

Passo 8

Depois, substituímos 0^44 + 0^22 = 0 + 0 = 0 :

Passo 9

Finalmente, subtraímos os valores:
6 - 0 = 6

Resposta

O valor da integral é 6.

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