(EXTRA) Suponha que uma formiga se desloque do ponto
até o ponto
ao longo da curva
. Qual foi a distância percorrida pela formiga ao longo dessa trajetória? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta que uma formiga vai do ponto
até o ponto
seguindo a curva
. Nosso objetivo é descobrir qual foi a distância que a formiga percorreu nessa trajetória. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a descobrir a distância ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Essa equação representa a metade superior de um círculo com raio
, centrado na origem
. Isso porque a equação geral de um círculo é
, e substituímos
por
para pegar apenas a parte de cima.
Passo 3
Agora, sabemos que para encontrar a distância percorrida pela formiga ao longo dessa curva, precisamos calcular o comprimento do arco entre os dois pontos dados. A fórmula do comprimento de arco para uma função
entre
e
é:
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Dada a função
, usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na fórmula do comprimento do arco:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Passo 7
Substituindo de volta na integral:
Passo 8
Reconhecemos que a integral
é conhecida e seu resultado é
. Então:
Passo 9
Calculando os valores das funções trigonométricas:
Passo 10
Substituindo de volta:
Resposta
A distância percorrida pela formiga ao longo da trajetória é
unidades de comprimento.
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.
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