(EXTRA) Suponha que uma formiga se desloque do ponto até o ponto ao longo da curva . Qual foi a distância percorrida pela formiga ao longo dessa trajetória? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta que uma formiga vai do ponto até o ponto seguindo a curva . Nosso objetivo é descobrir qual foi a distância que a formiga percorreu nessa trajetória. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a descobrir a distância ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Essa equação representa a metade superior de um círculo com raio , centrado na origem . Isso porque a equação geral de um círculo é , e substituímos por para pegar apenas a parte de cima.

Passo 3

Agora, sabemos que para encontrar a distância percorrida pela formiga ao longo dessa curva, precisamos calcular o comprimento do arco entre os dois pontos dados. A fórmula do comprimento de arco para uma função entre e é:

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em relação a . Dada a função , usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento do arco:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da raiz:

Passo 7

Substituindo de volta na integral:

Passo 8

Reconhecemos que a integral é conhecida e seu resultado é . Então:

Passo 9

Calculando os valores das funções trigonométricas:

Passo 10

Substituindo de volta:

Resposta

A distância percorrida pela formiga ao longo da trajetória é unidades de comprimento.

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