Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Temos a integral:
Nosso objetivo é resolver essa integral. Para isso, vamos precisar usar conceitos de fatoração de polinômios e frações parciais.
Passo 2
Vamos começar fatorando o denominador . Para isso, vamos encontrar as raízes desse polinômio. Usamos o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que possíveis raízes são os divisores do termo constante () divididos pelos divisores do coeficiente principal (). Assim, as possíveis raízes são e .
Testando :
Portanto, é uma raiz, e é um fator do polinômio.
Passo 3
Agora, vamos dividir o polinômio por para encontrar os outros fatores. Fazendo a divisão, obtemos:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos usar frações parciais para decompor essa expressão. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Passo 5
Vamos expandir o lado direito da equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
De , temos .
De , e sabendo que , temos .
Substituindo na terceira equação: .
Então, e .
Passo 7
Agora, substituímos os valores de 1(x - 1)(x^2 + 2) = 13x - 1 + -13x - 13x^2 + 2 , 1(x - 1)(x^2 + 2) = 13(x - 1) - x + 13(x^2 + 2) e na decomposição das frações parciais:
Simplificando:
Passo 8
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 13(x - 1) , dx - integral x + 13(x^2 + 2) , dx
Isso pode ser escrito como:
13 integral 1x - 1 , dx - 13 integral xx^2 + 2 , dx - 13 integral 1x^2 + 2 , dx
Passo 9
Vamos resolver cada integral:
Primeira Integral:
13 integral 1x - 1 , dx = 13 ln|x - 1| + C1
Segunda Integral:
-13 integral xx^2 + 2 , dx
Fazendo -13 cdot 12 integral 1u , du = -16 ln|u| + C2 = -16 ln(x^2 + 2) + C2 , então -13 integral 1x^2 + 2 , dx -13 cdot 1raiz2 tan^-1(xraiz2) + C3 .