Determine a seguinte integral:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Temos a integral:
Nosso objetivo é resolver essa integral. Para isso, vamos precisar usar conceitos de fatoração de polinômios e frações parciais.

Passo 2

Vamos começar fatorando o denominador . Para isso, vamos encontrar as raízes desse polinômio. Usamos o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que possíveis raízes são os divisores do termo constante ( ) divididos pelos divisores do coeficiente principal ( ). Assim, as possíveis raízes são e .
Testando :
Portanto, é uma raiz, e é um fator do polinômio.

Passo 3

Agora, vamos dividir o polinômio por para encontrar os outros fatores. Fazendo a divisão, obtemos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos usar frações parciais para decompor essa expressão. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 5

Vamos expandir o lado direito da equação:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. De , e sabendo que , temos .
  3. Substituindo na terceira equação: .
Então, e .

Passo 7

Agora, substituímos os valores de , e na decomposição das frações parciais:
Simplificando:

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Isso pode ser escrito como:

Passo 9

Vamos resolver cada integral:
  1. Primeira Integral:
  1. Segunda Integral:
Fazendo , então .
Substituindo:
  1. Terceira Integral:
Sabemos que , onde .
Então:

Passo 10

Juntando todas as integrais, temos:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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