Determine a seguinte integral:
integral 1x^3-x^2+2 x-2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Temos a integral:
integral 1x^3-x^2+2x-2 , dx
Nosso objetivo é resolver essa integral. Para isso, vamos precisar usar conceitos de fatoração de polinômios e frações parciais.

Passo 2

Vamos começar fatorando o denominador 1^3 - 1^2 + 2(1) - 2 = 1 - 1 + 2 - 2 = 0 . Para isso, vamos encontrar as raízes desse polinômio. Usamos o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que possíveis raízes são os divisores do termo constante ( ) divididos pelos divisores do coeficiente principal ( ). Assim, as possíveis raízes são e .
Testando :
Portanto, é uma raiz, e é um fator do polinômio.

Passo 3

Agora, vamos dividir o polinômio x^3-x^2+2x-2 = (x - 1)(x^2 + 2) por integral 1(x - 1)(x^2 + 2) , dx para encontrar os outros fatores. Fazendo a divisão, obtemos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos usar frações parciais para decompor essa expressão. Assumimos que:
1(x - 1)(x^2 + 2) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + 2
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(x^2 + 2) + (Bx + C)(x - 1) , temos:

Passo 5

Vamos expandir o lado direito da equação:
1 = A x^2 + 2A + Bx^2 - Bx + Cx - C
Agrupando os termos semelhantes:
1 = (A + B)x^2 + (-B + C)x + (2A - C)

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo A + B = 0 -B + C = 0 2A - C = 1 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. De , e sabendo que , temos .
  3. Substituindo na terceira equação: .
Então, e .

Passo 7

Agora, substituímos os valores de 1(x - 1)(x^2 + 2) = 13x - 1 + -13x - 13x^2 + 2 , 1(x - 1)(x^2 + 2) = 13(x - 1) - x + 13(x^2 + 2) e na decomposição das frações parciais:
Simplificando:

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 13(x - 1) , dx - integral x + 13(x^2 + 2) , dx
Isso pode ser escrito como:
13 integral 1x - 1 , dx - 13 integral xx^2 + 2 , dx - 13 integral 1x^2 + 2 , dx

Passo 9

Vamos resolver cada integral:
  1. Primeira Integral:
13 integral 1x - 1 , dx = 13 ln|x - 1| + C1
  1. Segunda Integral:
-13 integral xx^2 + 2 , dx
Fazendo -13 cdot 12 integral 1u , du = -16 ln|u| + C2 = -16 ln(x^2 + 2) + C2 , então -13 integral 1x^2 + 2 , dx -13 cdot 1raiz2 tan^-1(xraiz2) + C3 .
Substituindo:
  1. Terceira Integral:
Sabemos que , onde .
Então:

Passo 10

Juntando todas as integrais, temos:
13 ln|x - 1| - 16 ln(x^2 + 2) - 13raiz2 tan^-1(xraiz2) + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
13 ln|x - 1| - 16 ln(x^2 + 2) - 13raiz2 tan^-1(xraiz2) + C
onde é a constante de integração.

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