Calcule, caso existam, as seguintes integrais: integral1^e raiz3 ln (x)+1x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral definida de 1 a da função em relação a . Estamos lidando com cálculo de integrais e, para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Vamos identificar uma substituição que facilite a integração. Observe que dentro da raiz temos u = 3 ln(x) + 1 . Vamos definir uma nova variável igual a essa expressão:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3x em relação a dx = x3 du para substituir dxx = du3 na integral. Diferenciando ambos os lados:
Isso implica que:
Mas, na integral original, temos . Substituindo:

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de integral1^e raiz3 ln(x) + 1x dx = integralu=1^u=4 raizu cdot du3 :
Aqui, ajustamos os limites de integração: quando , ; e quando , .

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
13 integral1^4 u^1/2 du
Sabemos que a integral de é .

Passo 6

Aplicando a regra de integração:
13 cdot [ u^3/23/2 ]1^4 = 13 cdot 23 ( u^3/2 )1^4 = 29 ( 4^3/2 - 1^3/2 )

Passo 7

Calculando os valores:
4^3/2 = (raiz4)^3 = 2^3 = 8
1^3/2 = 1
Então:
29 (8 - 1) = 29 cdot 7 = 149

Resposta

O valor da integral é .

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