Calcule as seguintes integrais indefinidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções racionais e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição adequada que simplifique a expressão. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, observamos que temos no denominador. Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar . Por que 3? Porque , o que simplifica a raiz quadrada.

Passo 3

Com , precisamos derivar para encontrar . Então,

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Lembrando que e , podemos reescrever a integral:

Passo 6

Para simplificar, fazemos uma substituição , então . A integral fica:

Passo 7

Voltando à variável original, e lembrando que , podemos traçar um triângulo retângulo onde o cateto oposto a é , o adjacente é 3, e a hipotenusa é . Assim,
Portanto,

Resposta

A integral indefinida é:

Exercícios relacionados

Considere dois pontos e fixados fora de uma reta . Encontre o ponto da reta , cuja soma das distâncias aos pontos e seja mínima.
Entre todos os triângulos que têm a mesma base e a mesma altura, encontre o que tem perímetro máximo.
Determine a seguinte integral:
Calcule, caso existam, as seguintes integrais: