Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral 1x^2 raizx^2+9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções racionais e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição adequada que simplifique a expressão. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, observamos que temos no denominador. Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar . Por que 3? Porque , o que simplifica a raiz quadrada.

Passo 3

Com dx = 3 sec^2theta , dtheta , precisamos derivar para encontrar . Então,

Passo 4

Agora, substituímos integral 1(3 tantheta)^2 cdot raiz(3 tantheta)^2 + 9 cdot 3 sec^2theta , dtheta e integral 19 tan^2theta cdot 3 sectheta cdot 3 sec^2theta , dtheta = integral sectheta9 tan^2theta cdot 3 sec^2theta , dtheta na integral original:
= 13 integral sec^3thetatan^2theta , dtheta
Simplificando:

Passo 5

Lembrando que 13 integral sec^3thetatan^2theta , dtheta = 13 integral 1cos^3thetasin^2thetacos^2theta , dtheta = 13 integral 1costheta sin^2theta , dtheta e , podemos reescrever a integral:

Passo 6

Para simplificar, fazemos uma substituição 13 integral 1u^2 , du = 13 ( -1u ) + C = -13u + C , então . A integral fica:

Passo 7

Voltando à variável original, sintheta = xraizx^2 + 9 e lembrando que -13u = -13 cdot raizx^2 + 9x , podemos traçar um triângulo retângulo onde o cateto oposto a é , o adjacente é 3, e a hipotenusa é . Assim,
Portanto,

Resposta

A integral indefinida é:
integral 1x^2 raizx^2+9 , dx = -raizx^2 + 93x + C

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