Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções racionais e raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição adequada que simplifique a expressão. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, observamos que temos
no denominador. Isso sugere que podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar
. Por que 3? Porque
, o que simplifica a raiz quadrada.
Passo 3
Com
, precisamos derivar para encontrar
. Então,
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Lembrando que
e
, podemos reescrever a integral:
Passo 6
Para simplificar, fazemos uma substituição
, então
. A integral fica:
Passo 7
Voltando à variável original,
e lembrando que
, podemos traçar um triângulo retângulo onde o cateto oposto a
é
, o adjacente é 3, e a hipotenusa é
. Assim,
Portanto,
Resposta
A integral indefinida é:
Exercícios relacionados
Considere dois pontos
e
fixados fora de uma reta
. Encontre o ponto da reta
, cuja soma das distâncias aos pontos
e
seja mínima.
Entre todos os triângulos que têm a mesma base e a mesma altura, encontre o que tem perímetro máximo.
Determine a seguinte integral:
Calcule, caso existam, as seguintes integrais: