Encontre as Transformadas de Laplace das seguintes funções:
f(t) = sen(3t) / e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformadas de Laplace! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar algumas propriedades básicas das Transformadas de Laplace que nos ajudam a simplificar a função antes de aplicar a fórmula padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira mais fácil de trabalhar com as propriedades da Transformada de Laplace. Observamos que dividir por é o mesmo que multiplicar por . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante das Transformadas de Laplace: se você tem uma função multiplicada por , a Transformada de Laplace dela é a Transformada da função original, mas com substituído por .
No nosso caso, temos , então . E a função original é .

Passo 4

Sabemos que a Transformada de Laplace de é:
Aqui, . Então, a Transformada de é:

Passo 5

Aplicando a propriedade que mencionamos no Passo 3, substituímos por na Transformada de :

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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