Encontre as Transformadas de Laplace Inversa das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace Inversa da função:
Para isso, vamos usar frações parciais e algumas propriedades das Transformadas de Laplace que a gente já viu nas aulas.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração complexa em partes mais simples usando frações parciais. Isso facilita bastante na hora de aplicar a transformada inversa. A ideia é escrever
como a soma de frações mais simples que a gente conhece a transformada inversa.
Assumimos que podemos expressar
da seguinte forma:
Aqui,
,
,
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Vamos expandir e organizar os termos para facilitar a resolução:
Agrupando termos semelhantes:
Como a equação deve valer para todos os valores de
, podemos igualar os coeficientes de cada potência de
:
-
: -
: -
: -
: - Constante:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações:
- De
, temos . - De
e sabendo que , temos . - De
, podemos expressar . - De
, substituindo por , temos: - Finalmente, de
, com , temos .
Então, os valores encontrados são:
Passo 5
Substituindo esses valores de volta na expressão das frações parciais, temos:
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace Inversa em cada termo separadamente. Sabemos que:
-
-
-
(já que na fórmula )
Aplicando isso, temos:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A Transformada de Laplace Inversa de
é: