Encontre as Transformadas de Laplace Inversa das seguintes funções:
F(s) = 3 / (s^3 * (s^2 + 4))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace Inversa da função:
Para isso, vamos usar frações parciais e algumas propriedades das Transformadas de Laplace que a gente já viu nas aulas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração complexa em partes mais simples usando frações parciais. Isso facilita bastante na hora de aplicar a transformada inversa. A ideia é escrever como a soma de frações mais simples que a gente conhece a transformada inversa.
Assumimos que podemos expressar da seguinte forma:
Aqui, , , , e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Vamos expandir e organizar os termos para facilitar a resolução:
Agrupando termos semelhantes:
Como a equação deve valer para todos os valores de , podemos igualar os coeficientes de cada potência de :
  • :
  • :
  • :
  • :
  • Constante:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. De e sabendo que , temos .
  3. De , podemos expressar .
  4. De , substituindo por , temos:
  5. Finalmente, de , com , temos .
Então, os valores encontrados são:

Passo 5

Substituindo esses valores de volta na expressão das frações parciais, temos:
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace Inversa em cada termo separadamente. Sabemos que:
  • (já que na fórmula )
Aplicando isso, temos:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A Transformada de Laplace Inversa de é:

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