Calcule, caso existam, os seguintes limites laterais:
(i) lim x 2 h(x)-h(2)x-2 em que h(x)= x^3-2 x & , se x >= 2 x^2 & , se x<2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de quando se aproxima de 2. A função é definida de duas maneiras diferentes dependendo se é maior ou igual a 2 ou menor que 2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que a definição de limite está nos dizendo e como aplicar as regras de limites para funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Esse limite é a definição da derivada de em , mas como estamos lidando com uma função definida por partes, precisamos calcular os limites laterais: um pela direita ( ) e outro pela esquerda ( ).

Passo 3

Vamos calcular primeiro o limite quando limx to 2^+ (x^3 - 2x) - h(2)x - 2 se aproxima de 2 pela direita ( ). Nessa região, , então usamos a parte da função .
Então, substituímos na expressão do limite:

Passo 4

Precisamos encontrar limx to 2^+ (x^3 - 2x) - 4x - 2 . Como , usamos .
Substituindo de novo:

Passo 5

Agora, simplificamos o numerador:
x^3 - 2x - 4
Queremos fatorar esse polinômio para simplificar o limite. Vamos tentar fatorar x^3 - 2x - 4 = (x - 2)(x^2 + 2x + 2) .
Sabemos que é uma raiz, porque . Então, podemos dividir o polinômio por :

Passo 6

Substituindo de volta no limite:
limx to 2^+ (x - 2)(x^2 + 2x + 2)x - 2
Os termos limx to 2^+ (x^2 + 2x + 2) se cancelam:

Passo 7

Agora, substituímos 2^2 + 2 times 2 + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 por 2:
Então, o limite pela direita é 10.

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 2^- x^2 - h(2)x - 2 se aproxima de 2 pela esquerda ( ). Nessa região, , então usamos a parte da função .
Substituímos na expressão do limite:

Passo 9

Já sabemos que limx to 2^- x^2 - 4x - 2 . Então:

Passo 10

Vamos fatorar o numerador:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Substituindo de volta:
limx to 2^- (x - 2)(x + 2)x - 2
Os termos limx to 2^- (x + 2) se cancelam:

Passo 11

Agora, substituímos 2 + 2 = 4 por 2:
Então, o limite pela esquerda é 4.

Resposta

O limite à direita é 10 e o limite à esquerda é 4. Portanto, os limites laterais existem, mas são diferentes.

Exercícios relacionados

Dada a função
f(x)= x^2-1, & se -1 <= x<0 2 x, & se 0
Responda:
(e) Existe f(1) ?
Encontre o limite.
lim x -1(x^3-2 x^2+3 x-4)
Faça um esboço do gráfico da função f dada e encontre, se existir, cada um dos limites lim x a^+ f(x), lim x a^- f(x) e lim x a f(x); se não existir, indique a razão disto.
a=2 ; f(x)= x^2 & se x <= 2 8-2 x & se x>2
Calcule os limites a seguir: lim x 1 1-raizx1-raiz[3]x