Calcule, caso existam, os seguintes limites laterais:
(i)
em que
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de
quando
se aproxima de 2. A função
é definida de duas maneiras diferentes dependendo se
é maior ou igual a 2 ou menor que 2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que a definição de limite está nos dizendo e como aplicar as regras de limites para funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Esse limite é a definição da derivada de
em
, mas como estamos lidando com uma função definida por partes, precisamos calcular os limites laterais: um pela direita (
) e outro pela esquerda (
).
Passo 3
Vamos calcular primeiro o limite quando
se aproxima de 2 pela direita (
). Nessa região,
, então usamos a parte da função
.
Então, substituímos na expressão do limite:
Passo 4
Precisamos encontrar
. Como
, usamos
.
Substituindo de novo:
Passo 5
Agora, simplificamos o numerador:
Queremos fatorar esse polinômio para simplificar o limite. Vamos tentar fatorar
.
Sabemos que
é uma raiz, porque
. Então, podemos dividir o polinômio por
:
Passo 6
Substituindo de volta no limite:
Os termos
se cancelam:
Passo 7
Agora, substituímos
por 2:
Então, o limite pela direita é 10.
Passo 8
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
). Nessa região,
, então usamos a parte da função
.
Substituímos na expressão do limite:
Passo 9
Já sabemos que
. Então:
Passo 10
Vamos fatorar o numerador:
Substituindo de volta:
Os termos
se cancelam:
Passo 11
Agora, substituímos
por 2:
Então, o limite pela esquerda é 4.
Resposta
O limite à direita é 10 e o limite à esquerda é 4. Portanto, os limites laterais existem, mas são diferentes.