Faça um esboço do gráfico da função dada e encontre, se existir, cada um dos limites e ; se não existir, indique a razão disto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função definida por partes e encontrar os limites laterais e o limite geral quando se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender o que são funções definidas por partes e como calcular limites laterais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de :
Isso significa que, para valores de menores ou iguais a 2, a função segue a equação , e para valores maiores que 2, segue .
Passo 3
Vamos esboçar o gráfico dessa função. Para , plotamos a parábola . Para , plotamos a reta . O ponto importante é , onde as duas definições se encontram.
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites laterais em .
Limite pela esquerda ():
Aqui, usamos a parte da função para :
Limite pela direita ():
Aqui, usamos a parte da função para :
Passo 5
Finalmente, vamos determinar o limite geral . Como os limites laterais são iguais:
Resposta
O gráfico da função é uma parábola para e uma reta para , com ambos os segmentos se encontrando em . Os limites são: