Faça um esboço do gráfico da função f dada e encontre, se existir, cada um dos limites lim x a^+ f(x), lim x a^- f(x) e lim x a f(x); se não existir, indique a razão disto.
a=2 ; f(x)= x^2 & se x <= 2 8-2 x & se x>2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função definida por partes e encontrar os limites laterais e o limite geral quando se aproxima de . Para isso, vamos precisar entender o que são funções definidas por partes e como calcular limites laterais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x) = x^2 & se x <= 2 8 - 2x & se x > 2 . Ela é definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de :
Isso significa que, para valores de menores ou iguais a 2, a função segue a equação , e para valores maiores que 2, segue .

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico dessa função. Para , plotamos a parábola . Para , plotamos a reta . O ponto importante é , onde as duas definições se encontram.

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites laterais em limx to 2^- f(x) = limx to 2^- x^2 = 2^2 = 4 .
Limite pela esquerda ( limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ (8 - 2x) = 8 - 2(2) = 4 ):
Aqui, usamos a parte da função para :
Limite pela direita ( ):
Aqui, usamos a parte da função para :

Passo 5

Finalmente, vamos determinar o limite geral limx to 2 f(x) = 4 . Como os limites laterais são iguais:

Resposta

O gráfico da função limx to 2^- f(x) = 4, limx to 2^+ f(x) = 4, e limx to 2 f(x) = 4 é uma parábola para e uma reta para , com ambos os segmentos se encontrando em . Os limites são:

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