Calcule, caso existam, os seguintes limites laterais: lim x -3^+ 1x^2-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular um limite lateral: lim x -3^+ 1x^2-9. Isso significa que queremos saber o comportamento da função quando o valor de x se aproxima de -3 vindo da direita (valores maiores que -3). Vamos usar conceitos de limites e análise de sinais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: x^2 - 9. Podemos fatorar essa expressão usando a diferença de quadrados:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Isso nos ajuda a entender onde o denominador se iguala a zero, o que é crucial para determinar o comportamento da função perto de x = -3.

Passo 3

Agora, investigamos o que acontece quando x se aproxima de -3 pela direita. Vamos substituir x por -3 + h, onde h é um número muito pequeno e positivo (já que estamos vindo da direita):
x = -3 + h com h > 0 e h 0
Substituindo na expressão do denominador:
x^2 - 9 = (-3 + h)^2 - 9 = 9 - 6h + h^2 - 9 = -6h + h^2
Para valores muito pequenos de h, o termo -6h domina, então x^2 - 9 será negativo.

Passo 4

Sabendo que o denominador x^2 - 9 se aproxima de 0 por valores negativos quando x -3^+, a fração inteira 1x^2-9 vai se comportar como:
1número negativo muito pequeno -infty ú
Isso significa que a função tende a menos infinito naquele ponto.

Resposta

lim x -3^+ 1x^2-9 = -infty

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