Um veículo percorre uma trajetoria retilínea com uma função deslocamento dada por
. Calcule:
Calcule a aceleração do veículo no instante inicial.
Calcule a aceleração do veículo no instante inicial.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função que descreve o deslocamento de um veículo ao longo do tempo, que é dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especialmente derivadas. Precisamos calcular a aceleração do veículo no instante inicial, ou seja, quando
. A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, então vamos precisar primeiro encontrar a primeira derivada (velocidade) e depois a segunda derivada (aceleração).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função de deslocamento para facilitar a derivação. Multiplicando os termos no numerador:
Agora, nossa função está mais clara: é uma fração onde o numerador é
e o denominador é
.
Passo 3
Vamos encontrar a primeira derivada de
, que representa a velocidade. Para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a Regra do Quociente. A Regra do Quociente diz que se temos uma função
, sua derivada é:
Aplicando isso à nossa função:
Vamos derivar
e
:
Derivando
:
Usamos a Regra do Produto porque
é o produto de
e
:
Derivando
:
Aplicamos a Regra da Cadeia:
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Passo 4
Agora precisamos encontrar a segunda derivada
, que representa a aceleração. Isso significa que teremos que derivar
. Esse processo pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos seguir passo a passo.
Primeiro, observe que
já é uma fração complexa. Para simplificar, podemos considerar
, onde:
Para derivar
, usamos novamente a Regra do Quociente:
Derivar
e
envolve novamente usar as Regras do Produto e da Cadeia, mas para simplificar nossa vida, como queremos a aceleração no instante inicial
, vamos avaliar cada termo em
depois de derivar.
Passo 5
Vamos agora calcular
. Para isso, precisamos avaliar todas as partes da
em
.
Primeiro, vamos simplificar as expressões em
:
Agora, avaliamos
e suas derivadas em
:
-
é a função avaliada em . -
é a derivada de avaliada em .
Substituindo
:
Derivando
e avaliando em
, notar que muitos termos se anulam devido aos fatores
multiplicando-os.
O denominador
, e sua derivada em
também se simplifica.
Após fazer todas as derivações e substituir
, obtemos:
Resposta
A aceleração do veículo no instante inicial é dada por:
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Mostre as identidades trigonométricas:
Calcule, caso existam, os seguintes limites laterais:
Suponha que
, para
. Calcule
.