Um veículo percorre uma trajetoria retilínea com uma função deslocamento dada por . Calcule:
Calcule a aceleração do veículo no instante inicial.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função que descreve o deslocamento de um veículo ao longo do tempo, que é dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especialmente derivadas. Precisamos calcular a aceleração do veículo no instante inicial, ou seja, quando . A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, então vamos precisar primeiro encontrar a primeira derivada (velocidade) e depois a segunda derivada (aceleração).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função de deslocamento para facilitar a derivação. Multiplicando os termos no numerador:
Agora, nossa função está mais clara: é uma fração onde o numerador é e o denominador é .

Passo 3

Vamos encontrar a primeira derivada de , que representa a velocidade. Para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a Regra do Quociente. A Regra do Quociente diz que se temos uma função , sua derivada é:
Aplicando isso à nossa função:
Vamos derivar e :
Derivando :
Usamos a Regra do Produto porque é o produto de e :
Derivando :
Aplicamos a Regra da Cadeia:
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:

Passo 4

Agora precisamos encontrar a segunda derivada , que representa a aceleração. Isso significa que teremos que derivar . Esse processo pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos seguir passo a passo.
Primeiro, observe que já é uma fração complexa. Para simplificar, podemos considerar , onde:
Para derivar , usamos novamente a Regra do Quociente:
Derivar e envolve novamente usar as Regras do Produto e da Cadeia, mas para simplificar nossa vida, como queremos a aceleração no instante inicial , vamos avaliar cada termo em depois de derivar.

Passo 5

Vamos agora calcular . Para isso, precisamos avaliar todas as partes da em .
Primeiro, vamos simplificar as expressões em :
Agora, avaliamos e suas derivadas em :
  • é a função avaliada em .
  • é a derivada de avaliada em .
Substituindo :
Derivando e avaliando em , notar que muitos termos se anulam devido aos fatores multiplicando-os.
O denominador , e sua derivada em também se simplifica.
Após fazer todas as derivações e substituir , obtemos:
ã

Resposta

A aceleração do veículo no instante inicial é dada por:

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Calcule, caso existam, os seguintes limites laterais:
Suponha que , para . Calcule .