Suponha que 10+ln (5-x) <= f(x) <= 3 raizx+x, para 3. Calcule lim x 4 f(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma função f(x) que está limitada entre duas outras funções para valores de x entre 3 e 4, ou seja, 10 + ln(5 -x) <= f(x) <= 3 raizx + x. O objetivo é calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 4. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto), que nos ajuda a encontrar limites de funções intermediárias.

Passo 2

Vamos calcular o limite da função de baixo: 10 + ln(5 -x) quando x tende a 4. Primeiro, substituímos x por 4 na expressão:
limx to 4 (10 + ln(5 -x)) = 10 + ln(5 - 4) = 10 + ln(1)
Sabemos que ln(1) = 0, então:
10 + 0 = 10
Portanto, o limite da função de baixo é 10.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função de cima: 3 raizx + x quando x tende a 4. Substituindo x por 4:
limx to 4 (3 raizx + x) = 3 raiz4 + 4 = 3 times 2 + 4 = 6 + 4 = 10
Então, o limite da função de cima também é 10.

Resposta

Aplicando o Teorema do Confronto, como os limites das funções de cima e de baixo são iguais a 10, conclui-se que:
limx 4 f(x) = 10

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