Mostre as identidades trigonométricas: (sen(x) + cos(x))^2 = 1 + 2sen(x)cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que . Isso está no conteúdo de trigonometria, especificamente nas identidades trigonométricas e na expansão de expressões algébricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como expandir um binômio ao quadrado e também usar identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo da igualdade: . Para isso, usamos a regra do quadrado da soma, que diz que . Aplicando isso aqui:

Passo 3

Agora, vamos analisar os termos que obtivemos: e . Existe uma identidade trigonométrica que diz que para qualquer ângulo x:
Essa é uma das identidades fundamentais da trigonometria, conhecida como a identidade pitagórica.

Passo 4

Substituindo a identidade pitagórica na nossa expressão, temos:
Ou seja:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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