Calcule, caso existam, os seguintes limites laterais: lim x -1^+ 1-|x|x^4-1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite lateral da função 1 - |x|x^4 - 1 quando x se aproxima de -1 pelo lado direito (ou seja, valores maiores que -1). Para isso, vamos usar conceitos de limites laterais, propriedades de funções absolutas e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: x^4 - 1. Podemos fatorar esse polinômio usando a diferença de quadrados:
x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)
E fatorando mais um pouco:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Então, o denominador fica:
x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)

Passo 3

Agora, vamos olhar para o numerador: 1 - |x|. Sabemos que |x| representa o valor absoluto de x. Como estamos calculando o limite quando x se aproxima de -1 pela direita, isso significa que x está ligeiramente maior que -1, mas ainda negativo. Portanto, |x| = -x nessa região.
Substituindo:
1 - |x| = 1 - (-x) = 1 + x

Passo 4

Substituindo o numerador e o denominador fatorado na fração original, temos:
1 + x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
Observamos que o termo (x + 1) aparece no numerador e no denominador. Podemos então simplificar a fração cancelando esse termo:
1(x - 1)(x^2 + 1)

Passo 5

Agora, substituímos x por -1 na expressão simplificada para calcular o limite:
1(-1 - 1)((-1)^2 + 1) = 1(-2)(1 + 1) = 1-2 times 2 = 1-4 = -14

Resposta

lim x -1^+ 1 - |x|x^4 - 1 = -14

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