Calcule os seguintes limites: lim x 0[-raizx+e^x1+x+sin (x) cos (x)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0[-raizx+e^x1+x+sin (x) cos (x)]
Aqui, estamos trabalhando com limites em cálculo, especificamente quando se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da expressão separadamente e depois somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para limx to 0 -raizx = -0 = 0. Quando se aproxima de 0, a raiz quadrada de também se aproxima de 0. Então:

Passo 3

Agora, vamos analisar e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + dots. Sabemos que e^x1+x = 1 + x + x^22 + dots1 + x pode ser expandido como uma série de Taylor em torno de 0:
limx to 0 e^x1+x = 1 + 01 + 0 = 1
E é simplesmente . Então, dividindo essas duas expressões:
Quando se aproxima de 0, os termos de ordem superior se tornam insignificantes, então:

Passo 4

Por último, vamos considerar sin(x) approx x e cos(x) approx 1. Sabemos que:
sin(x) cos(x) approx x cdot 1 = x
quando limx to 0 sin(x) cos(x) = 0 é muito pequeno. Então:
Portanto:

Resposta

Somando todos os limites que calculamos:
0 + 1 + 0 = 1
Então, o limite é 1.

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