Calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h sendo f dada por f(x)=2 x^2+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite onde a função é dada por . Esse cálculo é conhecido como definição da derivada em cálculo diferencial. Vamos precisar entender como substituir e simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(x+h) = 2(x+h)^2 + (x+h) . Substituímos por na função:
Isso nos ajuda a ver como a função se comporta quando fazemos uma pequena variação em .

Passo 3

Agora, vamos expandir 2(x+h)^2 = 2(x^2 + 2xh + h^2) = 2x^2 + 4xh + 2h^2 :
f(x+h) = 2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h
E somamos com :

Passo 4

Agora, vamos calcular f(x+h) - f(x) = (2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h) - (2x^2 + x) = 4xh + 2h^2 + h :
Os termos e se cancelam.

Passo 5

Substituímos na expressão do limite:
f(x+h)-f(x)h = 4xh + 2h^2 + hh = 4x + 2h + 1
Aqui, dividimos cada termo do numerador por .

Passo 6

Agora, aplicamos o limite quando lim h 0 (4x + 2h + 1) = 4x + 0 + 1 = 4x + 1 tende a 0:

Resposta

O limite é .

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