Mostre as identidades trigonométricas: (1 - cos(x)^2)(1 + cot(x)^2) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa identidade trigonométrica: (1 - cos(x)^2)(1 + cot(x)^2) = 1. Aqui, estamos trabalhando com identidades trigonométricas, que são igualdades envolvendo funções trigonométricas válidas para todos os valores das variáveis nos seus domínios. Vamos precisar usar algumas identidades básicas, como a identidade pitagórica e a definição da cotangente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo . Sabemos pela identidade pitagórica que:
Se isolarmos , temos:
Então, podemos substituir por na nossa expressão original.

Passo 3

Agora, substituindo na expressão original:
Então, a expressão fica: .

Passo 4

Vamos simplificar o termo . Sabemos que a cotangente é definida como:
E também existe a identidade:
Então, podemos substituir por .

Passo 5

Substituindo na expressão:
Sabemos que a cosecante é o inverso do seno:
Portanto, .

Passo 6

Agora, substituindo:

Resposta

A identidade (1 - cos(x)^2)(1 + cot(x)^2) = 1 é verdadeira.

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