Determine se cada uma das funções abaixo é par, ímpar ou nenhuma das opções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a função
é par, ímpar ou nenhuma dessas opções. Isso tá dentro do conteúdo de funções e suas propriedades, especificamente sobre paridade de funções. Para resolver, vamos precisar saber o que significa uma função ser par ou ímpar e aplicar essas definições na função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função par. Uma função
é par se, ao substituir
por
, a função não muda, ou seja,
. Um exemplo clássico de função par é o cosseno.
Por outro lado, uma função
é ímpar se, ao substituir
por
, a função muda de sinal, ou seja,
. Um exemplo de função ímpar é o seno.
Se a função não atende a nenhuma dessas propriedades, então ela não é nem par nem ímpar.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na nossa função
.
Primeiro, calculamos
:
Sabemos que o valor absoluto de
é igual a
, então:
E que o cosseno é uma função par, ou seja:
Portanto:
Isso significa que
, o que sugere que a função pode ser par.
Passo 4
Mas, espera aí! Vamos verificar também se a função pode ser ímpar. Para isso, precisamos ver se
:
Claramente,
não é igual a
, a menos que
, o que não acontece para todos os
. Então, a função não é ímpar.
Passo 5
Mas aqui está o detalhe importante: apesar de
, o fato de termos um cosseno (que é par) multiplicado por um valor absoluto (também par) mantém a paridade. Portanto, a função
é realmente uma função par.
Resposta
A função
é par.
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sendo f dada por
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