Determine se cada uma das funções abaixo é par, ímpar ou nenhuma das opções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a função é par, ímpar ou nenhuma dessas opções. Isso tá dentro do conteúdo de funções e suas propriedades, especificamente sobre paridade de funções. Para resolver, vamos precisar saber o que significa uma função ser par ou ímpar e aplicar essas definições na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função par. Uma função é par se, ao substituir por , a função não muda, ou seja, . Um exemplo clássico de função par é o cosseno.
Por outro lado, uma função é ímpar se, ao substituir por , a função muda de sinal, ou seja, . Um exemplo de função ímpar é o seno.
Se a função não atende a nenhuma dessas propriedades, então ela não é nem par nem ímpar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa função .
Primeiro, calculamos :
Sabemos que o valor absoluto de é igual a , então:
E que o cosseno é uma função par, ou seja:
Portanto:
Isso significa que , o que sugere que a função pode ser par.

Passo 4

Mas, espera aí! Vamos verificar também se a função pode ser ímpar. Para isso, precisamos ver se :
Claramente, não é igual a , a menos que , o que não acontece para todos os . Então, a função não é ímpar.

Passo 5

Mas aqui está o detalhe importante: apesar de , o fato de termos um cosseno (que é par) multiplicado por um valor absoluto (também par) mantém a paridade. Portanto, a função é realmente uma função par.

Resposta

A função é par.

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