Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, a gente tem um limite com duas variáveis,
, que estão se aproximando de
. Vamos precisar usar conceitos de limites multivariáveis e álgebra para simplificar a expressão antes de calcular o limite. Também vamos precisar saber como lidar com raízes quadradas no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que estamos tratando:
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador têm termos em
. Vamos tentar simplificar o numerador para facilitar a resolução.
Passo 3
No numerador, podemos fatorar o termo
:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos racionalizar o denominador para eliminar a raiz quadrada. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador, que é
:
No denominador, usamos a diferença de quadrados:
Então, a expressão simplificada fica:
Passo 5
Agora, podemos cancelar o
no numerador e no denominador (já que estamos considerando
se aproximando de 0, mas não igual a 0):
Passo 6
Finalmente, substituímos os valores para o limite, ou seja,
:
Multiplicando esses resultados:
Resposta
Portanto, o limite é
.
Exercícios relacionados
Verifique se a função dada por
é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade de
.
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Usando a definição formal, encontre as derivadas das funções a seguir.