Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim (x, y) (0,1) 2 x+y x-x^2raizx+2-raiz2

Passo 1

Beleza, a gente tem um limite com duas variáveis, (x, y), que estão se aproximando de (0,1). Vamos precisar usar conceitos de limites multivariáveis e álgebra para simplificar a expressão antes de calcular o limite. Também vamos precisar saber como lidar com raízes quadradas no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que estamos tratando:
2x + yx - x^2raizx + 2 - raiz2
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador têm termos em x. Vamos tentar simplificar o numerador para facilitar a resolução.

Passo 3

No numerador, podemos fatorar o termo x:
2x + yx - x^2 = x(2 + y - x)
Então, a expressão fica:
x(2 + y - x)raizx + 2 - raiz2

Passo 4

Agora, vamos racionalizar o denominador para eliminar a raiz quadrada. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador, que é raizx + 2 + raiz2:
x(2 + y - x)(raizx + 2 + raiz2)(raizx + 2 - raiz2)(raizx + 2 + raiz2)
No denominador, usamos a diferença de quadrados:
(raizx + 2)^2 - (raiz2)^2 = (x + 2) - 2 = x
Então, a expressão simplificada fica:
x(2 + y - x)(raizx + 2 + raiz2)x = (2 + y - x)(raizx + 2 + raiz2)

Passo 5

Agora, podemos cancelar o x no numerador e no denominador (já que estamos considerando x se aproximando de 0, mas não igual a 0):
(2 + y - x)(raizx + 2 + raiz2)

Passo 6

Finalmente, substituímos os valores para o limite, ou seja, (x, y) (0,1):
2 + y - x = 2 + 1 - 0 = 3
raizx + 2 + raiz2 = raiz0 + 2 + raiz2 = raiz2 + raiz2 = 2raiz2
Multiplicando esses resultados:
3 times 2raiz2 = 6raiz2

Resposta

Portanto, o limite é 6raiz2.

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