Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:

Passo 1

Estamos lidando com um limite de uma função de duas variáveis:
O objetivo é provar que esse limite não existe utilizando o teste dos caminhos. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar diferentes caminhos pelos quais pode se aproximar de e verificar se os limites obtidos são distintos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde . Isso significa que estamos nos aproximando de ao longo do eixo .
Substituindo na expressão:
Agora, calculamos o limite quando :
Então, ao seguir o caminho , o limite é .

Passo 3

Agora, vamos considerar um caminho diferente, por exemplo, onde . Isso significa que estamos nos aproximando de ao longo do eixo .
Substituindo na expressão:
Agora, calculamos o limite quando :
Então, ao seguir o caminho , o limite é .

Passo 4

Observe que obtivemos dois limites diferentes ao seguir dois caminhos distintos:
  • Pelo caminho , o limite é .
  • Pelo caminho , o limite é .

Passo 5

De acordo com o teste dos caminhos, se ao seguir diferentes caminhos para aproximar de obtivermos limites distintos, então o limite geral não existe.

Resposta

Como os limites obtidos pelos caminhos e são diferentes ( e respectivamente), concluímos que o limite
não existe.

Exercícios relacionados

Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Verifique se a função dada por é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade de .
Usando a definição formal, encontre as derivadas das funções a seguir.
Usando a definição formal, encontre as derivadas das funções a seguir.