Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites: lim (x, y) (-2,0) (x+2)^2 y(x+2)^4+y^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que provar que o limite
lim (x, y) (-2,0) (x+2)^2 y(x+2)^4+y^2
não existe usando o teste dos caminhos. Isso envolve estudar o comportamento da função quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos. Se obtivermos resultados diferentes por caminhos distintos, o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples para nos aproximarmos de (x+2)^2 cdot 0(x+2)^4 + 0^2 = 0 . Vamos considerar o caminho onde . Ou seja, aproximando-se ao longo do eixo x.
Substituindo na função, temos:
Portanto, pelo caminho , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho diferente. Vamos considerar, por exemplo, o caminho onde (x+2)^2 cdot (x+2)^2(x+2)^4 + (x+2)^4 = (x+2)^42(x+2)^4 = 12 .
Substituindo na função, temos:
Então, pelo caminho , o limite é .

Passo 4

Observamos que, ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos, obtemos limites diferentes: 0 e . Isso significa que o limite geral não existe, pois ele não é consistente independentemente do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe.

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