Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que provar que o limite
não existe usando o teste dos caminhos. Isso envolve estudar o comportamento da função quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos. Se obtivermos resultados diferentes por caminhos distintos, o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples para nos aproximarmos de . Vamos considerar o caminho onde . Ou seja, aproximando-se ao longo do eixo x.
Substituindo na função, temos:
Portanto, pelo caminho , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho diferente. Vamos considerar, por exemplo, o caminho onde .
Substituindo na função, temos:
Então, pelo caminho , o limite é .

Passo 4

Observamos que, ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos, obtemos limites diferentes: 0 e . Isso significa que o limite geral não existe, pois ele não é consistente independentemente do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe.

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Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Considere a função dada por
Mostre que não é contínua no ponto . Justifique a sua resposta.
Verifique se a função dada por é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade de .
Calcule, caso existam, os seguintes limites: