Verifique se a função dada por
é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função
é homogênea. Se for, também precisamos descobrir qual é o grau de homogeneidade dessa função. Vamos usar os conceitos de funções homogêneas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, o que significa uma função ser homogênea? Basicamente, uma função
é homogênea de grau
se, quando multiplicamos cada variável por um número
, a função totaliza
vezes a função original. Em fórmula, isso fica assim:
Então, nosso objetivo é testar se essa propriedade vale para a função
.
Passo 3
Vamos substituir
por
e
por
na função
:
Agora, vamos simplificar os termos:
Passo 4
Observamos que cada termo no numerador e no denominador tem
. Podemos fatorar esse
:
Agora, o
do numerador e do denominador se cancelam:
E olha só, isso é exatamente a função original
!
Passo 5
Então, vimos que:
Comparando com a definição de função homogênea:
Percebemos que
, o que só é verdade se
.
Resposta
A função
é homogênea de grau 0.
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