Verifique se a função dada por é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função é homogênea. Se for, também precisamos descobrir qual é o grau de homogeneidade dessa função. Vamos usar os conceitos de funções homogêneas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, o que significa uma função ser homogênea? Basicamente, uma função é homogênea de grau se, quando multiplicamos cada variável por um número , a função totaliza vezes a função original. Em fórmula, isso fica assim:
Então, nosso objetivo é testar se essa propriedade vale para a função .

Passo 3

Vamos substituir por e por na função :
Agora, vamos simplificar os termos:

Passo 4

Observamos que cada termo no numerador e no denominador tem . Podemos fatorar esse :
Agora, o do numerador e do denominador se cancelam:
E olha só, isso é exatamente a função original !

Passo 5

Então, vimos que:
Comparando com a definição de função homogênea:
Percebemos que , o que só é verdade se .

Resposta

A função é homogênea de grau 0.

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