(2,0) Calcule, caso existam, os seguintes limites:
lim (x, y) (0,0) x^2 y^3raizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função x^2 y^3raizx^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Essa questão está dentro do estudo de limites em funções de várias variáveis, e para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre mudança para coordenadas polares e como analisar o comportamento da função próximo ao ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, para facilitar a análise, vamos trocar para coordenadas polares. Lembra que nas coordenadas polares, a gente expressa x e y em termos de r (a distância até a origem) e theta (o ângulo). As transformações são:
x = r cos theta
y = r sin theta
Com isso, quando (x, y) (0,0), isso corresponde a r 0.

Passo 3

Vamos substituir x e y na função original:
x^2 y^3raizx^2+y^2 = (r cos theta)^2 (r sin theta)^3raiz(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2
Simplificando os termos:
= r^2 cos^2 theta cdot r^3 sin^3 thetaraizr^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)

Passo 4

Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então a expressão fica:
= r^5 cos^2 theta sin^3 thetaraizr^2 cdot 1
= r^5 cos^2 theta sin^3 thetar
= r^4 cos^2 theta sin^3 theta

Passo 5

Agora, queremos ver o que acontece quando r 0. Observamos que r^4 tende a 0 quando r se aproxima de 0. Além disso, cos^2 theta sin^3 theta é uma função que varia entre valores limitados, já que funções trigonométricas são sempre limitadas entre -1 e 1.

Passo 6

Como r^4 0 e cos^2 theta sin^3 theta é limitada, o produto r^4 cos^2 theta sin^3 theta também tende a 0 quando r 0.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x^2 y^3raizx^2+y^2 é igual a 0.

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