Calcule, caso existam, os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de . Essa questão está dentro do estudo de limites em funções de várias variáveis, e para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre mudança para coordenadas polares e como analisar o comportamento da função próximo ao ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, para facilitar a análise, vamos trocar para coordenadas polares. Lembra que nas coordenadas polares, a gente expressa e em termos de (a distância até a origem) e (o ângulo). As transformações são:
Com isso, quando , isso corresponde a .

Passo 3

Vamos substituir e na função original:
Simplificando os termos:

Passo 4

Sabemos que , então a expressão fica:

Passo 5

Agora, queremos ver o que acontece quando . Observamos que tende a quando se aproxima de . Além disso, é uma função que varia entre valores limitados, já que funções trigonométricas são sempre limitadas entre -1 e 1.

Passo 6

Como e é limitada, o produto também tende a quando .

Resposta

O limite é igual a .

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Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).
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