Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Essa questão está dentro do estudo de limites em funções de várias variáveis, e para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre mudança para coordenadas polares e como analisar o comportamento da função próximo ao ponto de interesse.
Passo 2
Primeiro, para facilitar a análise, vamos trocar para coordenadas polares. Lembra que nas coordenadas polares, a gente expressa
e
em termos de
(a distância até a origem) e
(o ângulo). As transformações são:
Com isso, quando
, isso corresponde a
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na função original:
Simplificando os termos:
Passo 4
Sabemos que
, então a expressão fica:
Passo 5
Agora, queremos ver o que acontece quando
. Observamos que
tende a
quando
se aproxima de
. Além disso,
é uma função que varia entre valores limitados, já que funções trigonométricas são sempre limitadas entre -1 e 1.
Passo 6
Como
e
é limitada, o produto
também tende a
quando
.
Resposta
O limite
é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).
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