Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função e classificá-los como ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, vamos utilizar o cálculo diferencial, especificamente o estudo da derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar o cálculo da derivada. Observamos que:
Portanto, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a encontrar as taxas de variação da função e identificar pontos onde essa variação muda, ou seja, os pontos críticos.
Sabemos que a derivada de é:
Passo 4
Os pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou onde ela não existe. Observando a derivada que encontramos:
A derivada nunca é zero, já que é sempre 1 ou -1.
A derivada não está definida em .
Portanto, o único ponto crítico é .
Passo 5
Para classificar o ponto crítico em , vamos analisar o comportamento da função ao redor desse ponto:
Para , , indicando que a função está decrescendo.
Para , , indicando que a função está crescendo.
Como a derivada muda de negativa para positiva passando por , isso indica que temos um ponto de mínimo local nesse ponto.
Resposta
A função possui um ponto crítico em , que é um ponto de mínimo local.