Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função e classificá-los como ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, vamos utilizar o cálculo diferencial, especificamente o estudo da derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar o cálculo da derivada. Observamos que:
Portanto, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a encontrar as taxas de variação da função e identificar pontos onde essa variação muda, ou seja, os pontos críticos.
Sabemos que a derivada de é:

Passo 4

Os pontos críticos ocorrem onde a derivada é zero ou onde ela não existe. Observando a derivada que encontramos:
  • A derivada nunca é zero, já que é sempre 1 ou -1.
  • A derivada não está definida em .
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 5

Para classificar o ponto crítico em , vamos analisar o comportamento da função ao redor desse ponto:
  • Para , , indicando que a função está decrescendo.
  • Para , , indicando que a função está crescendo.
Como a derivada muda de negativa para positiva passando por , isso indica que temos um ponto de mínimo local nesse ponto.

Resposta

A função possui um ponto crítico em , que é um ponto de mínimo local.

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Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
Determine o conjunto dos pontos de continuidade da função dada por