Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar os pontos críticos da função
e dizer se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a encontrar onde a função muda de direção.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto. A fórmula para derivar
é multiplicar pelo expoente e diminuir o expoente em 1. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a primeira derivada é igual a zero, porque esses são os candidatos a pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para saber se esse ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos diz se a curva está “abrindo para cima” (mínimo) ou “abrindo para baixo” (máximo).
Vamos calcular a segunda derivada de
:
Como
é positivo, isso significa que a curva está abrindo para cima, e portanto, o ponto crítico é um mínimo local.
Resposta
O ponto crítico da função
é em
, e esse ponto é um mínimo local.