(2,0) Calcule, caso existam, os seguintes limites:
lim (x, y) (1,1) 2 x+y3 x^2 y+2 x y^2-2 x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve o conteúdo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar avaliar o comportamento da função próximo do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 2(1) + 13(1)^2(1) + 2(1)(1)^2 - 2(1)(1) = 2 + 13 cdot 1 cdot 1 + 2 cdot 1 cdot 1 - 2 cdot 1 cdot 1 = 33 + 2 - 2 = 33 = 1 por na função para ver o que acontece. Isso nos dá:

Passo 3

Como a substituição direta nos deu um número real e não uma forma indeterminada, isso indica que a função é contínua no ponto . Em funções contínuas, o limite quando se aproxima de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto.

Passo 4

Para garantir que o limite existe e é igual a 1, precisamos confirmar que, independentemente do caminho que tome para chegar em , o resultado será sempre 1. No caso dessa função, como ela é contínua no ponto e não apresenta comportamentos estranhos próximos a , podemos concluir que o limite é realmente 1.

Resposta

O limite é igual a .

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