Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e dizer se cada ponto é um máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas que nos ajudam a entender onde a função tem mudanças na sua inclinação.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função . A primeira derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, como a função está subindo ou descendo.
A função dada é:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então:
Aplicando isso à nossa função:
  • então
  • então
Agora, substituindo na fórmula:

Passo 3

Os pontos críticos da função são os valores de onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada existe para todo valor de , então vamos resolver:
O numerador precisa ser zero para que a fração toda seja zero:
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos críticos para saber se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, podemos usar a segunda derivada ou analisar o comportamento da primeira derivada em torno dos pontos críticos. Vamos usar o método da segunda derivada aqui.
Primeiro, encontramos a segunda derivada . Vamos derivar :
Aplicando a regra do quociente novamente:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos e :
Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo local.
Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • (ponto de máximo local)
  • (ponto de mínimo local)

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