Determine os pontos críticos da função dada e classitique-os (a classificação refere-se a ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou ponto de inflexão).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e dizer se cada ponto é um máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas que nos ajudam a entender onde a função tem mudanças na sua inclinação.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função
. A primeira derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto, ou seja, como a função está subindo ou descendo.
A função dada é:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se
, então:
Aplicando isso à nossa função:
-
então -
então
Agora, substituindo na fórmula:
Passo 3
Os pontos críticos da função são os valores de
onde a primeira derivada
é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada existe para todo valor de
, então vamos resolver:
O numerador precisa ser zero para que a fração toda seja zero:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos para saber se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Para isso, podemos usar a segunda derivada ou analisar o comportamento da primeira derivada em torno dos pontos críticos. Vamos usar o método da segunda derivada aqui.
Primeiro, encontramos a segunda derivada
. Vamos derivar
:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos
e
:
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo local.
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
(ponto de máximo local) -
(ponto de mínimo local)