Calcule, caso existam, os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Esse tipo de problema está relacionado aos limites multivariáveis na matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada coordenadas polares, que facilita analisar limites em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as coordenadas cartesianas em coordenadas polares , onde:
Aqui, representa a distância da origem e o ângulo.

Passo 3

Substituindo e na função original:
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, observamos que a expressão depende de e . Ao calcular o limite quando , independente do valor de , o termo tende a 0. Além disso, os termos trigonométricos e são limitados, já que os valores de cosseno e seno estão sempre entre -1 e 1.

Passo 5

Portanto, como , o produto inteiro também tende a 0. Isso mostra que o limite existe e é igual a 0.

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Determine o domínio da função
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Calcule a derivada das curvas dadas a seguir: