Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Esse tipo de problema está relacionado aos limites multivariáveis na matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada coordenadas polares, que facilita analisar limites em duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar as coordenadas cartesianas
em coordenadas polares
, onde:
Aqui,
representa a distância da origem
e
o ângulo.
Passo 3
Substituindo
e
na função original:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, observamos que a expressão
depende de
e
. Ao calcular o limite quando
, independente do valor de
, o termo
tende a 0. Além disso, os termos trigonométricos
e
são limitados, já que os valores de cosseno e seno estão sempre entre -1 e 1.
Passo 5
Portanto, como
, o produto inteiro
também tende a 0. Isso mostra que o limite existe e é igual a 0.
Resposta
O limite é
.
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Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Determine o domínio da função
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Calcule a derivada das curvas dadas a seguir: