Calcule, caso existam, os seguintes limites:
lim (x, y) (0,0) 2 x^4 y^3x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite da função 2 x^4 y^3x^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Esse tipo de problema está relacionado aos limites multivariáveis na matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada coordenadas polares, que facilita analisar limites em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as coordenadas cartesianas (x, y) em coordenadas polares (r, theta), onde:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
Aqui, r representa a distância da origem (0,0) e theta o ângulo.

Passo 3

Substituindo x e y na função original:
2 x^4 y^3x^2+y^2 = 2 (r costheta)^4 (r sintheta)^3(r costheta)^2 + (r sintheta)^2
Simplificando os termos:
= 2 r^4 cos^4theta cdot r^3 sin^3thetar^2 (cos^2theta + sin^2theta)
= 2 r^7 cos^4theta sin^3thetar^2 cdot 1 (pois cos^2theta + sin^2theta = 1)
= 2 r^5 cos^4theta sin^3theta

Passo 4

Agora, observamos que a expressão 2 r^5 cos^4theta sin^3theta depende de r e theta. Ao calcular o limite quando r 0, independente do valor de theta, o termo r^5 tende a 0. Além disso, os termos trigonométricos cos^4theta e sin^3theta são limitados, já que os valores de cosseno e seno estão sempre entre -1 e 1.

Passo 5

Portanto, como r^5 0, o produto inteiro 2 r^5 cos^4theta sin^3theta também tende a 0. Isso mostra que o limite existe e é igual a 0.

Resposta

O limite é 0.

Exercícios relacionados