Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da curva . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções vetoriais. Para isso, precisaremos derivar cada componente da função em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é feita derivando cada uma das suas componentes separadamente. Ou seja, se , então .

Passo 3

Vamos começar derivando a primeira componente: .
Lembrando que e sua derivada é . Além disso, temos uma função composta , então vamos aplicar a regra da cadeia.
A derivada de será:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda componente: .
Aqui, temos um produto de duas funções, então usaremos a regra do produto. A regra do produto diz que .
Aplicando isso:

Passo 5

Finalmente, vamos derivar a terceira componente: .
Como é uma constante, sua derivada é zero:

Resposta

Juntando todas as derivadas, a derivada da curva é:

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