Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da curva
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções vetoriais. Para isso, precisaremos derivar cada componente da função
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é feita derivando cada uma das suas componentes separadamente. Ou seja, se
, então
.
Passo 3
Vamos começar derivando a primeira componente:
.
Lembrando que
e sua derivada é
. Além disso, temos uma função composta
, então vamos aplicar a regra da cadeia.
A derivada de
será:
Passo 4
Agora, vamos derivar a segunda componente:
.
Aqui, temos um produto de duas funções, então usaremos a regra do produto. A regra do produto diz que
.
Aplicando isso:
Passo 5
Finalmente, vamos derivar a terceira componente:
.
Como
é uma constante, sua derivada é zero:
Resposta
Juntando todas as derivadas, a derivada da curva
é:
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