Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntinhos! A gente tem que calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está dentro da matéria de Cálculo de Limites em Funções de Várias Variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como os valores de
e
se comportam perto de
e verificar se o limite existe e é o mesmo por todos os caminhos que chegam lá.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de
e
na função para ver o que acontece. Substituindo
e
:
Então, temos:
Passo 3
Agora, para ter certeza de que o limite é realmente 1, precisamos verificar se esse valor é o mesmo quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos. Isso porque, em funções de várias variáveis, o limite só existe se for o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar lá.
Vamos testar alguns caminhos simples:
Caminho 1:
(mantendo
fixo e variando
)
Substituindo
na função:
Agora, substituindo
:
Caminho 2:
(mantendo
fixo e variando
)
Substituindo
na função:
Agora, substituindo
:
Caminho 3:
(um caminho mais geral)
Substituindo
na função:
Vamos simplificar:
Simplificando mais:
Agora, substituindo
:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine o domínio da função
Considere as curvas
dadas por
e
. Determine o produto escalar
e o produto vetorial
.
Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites: