Calcule, caso existam, os seguintes limites:
lim (x, y) (-1,1) 2 x^2-3 yx^2 y+3 x y^2-x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntinhos! A gente tem que calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro da matéria de Cálculo de Limites em Funções de Várias Variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como os valores de e se comportam perto de e verificar se o limite existe e é o mesmo por todos os caminhos que chegam lá.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de Numerador = 2(-1)^2 - 3(1) = 2 times 1 - 3 = 2 - 3 = -1 e Denominador = (-1)^2 times 1 + 3 times (-1) times 1^2 - (-1) times 1 = 1 times 1 + (-3) times 1 + 1 times 1 = 1 - 3 + 1 = -1 na função para ver o que acontece. Substituindo -1-1 = 1 e :
Então, temos:

Passo 3

Agora, para ter certeza de que o limite é realmente 1, precisamos verificar se esse valor é o mesmo quando nos aproximamos de 2x^2 - 3(1)x^2 times 1 + 3x times 1^2 - x times 1 = 2x^2 - 3x^2 + 3x - x = 2x^2 - 3x^2 + 2x por diferentes caminhos. Isso porque, em funções de várias variáveis, o limite só existe se for o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar lá.
Vamos testar alguns caminhos simples:
Caminho 1: 2(-1)^2 - 3(-1)^2 + 2(-1) = 2 times 1 - 31 - 2 = -1-1 = 1 (mantendo 2(-1)^2 - 3y(-1)^2 y + 3(-1) y^2 - (-1) y = 2 times 1 - 3y1 times y - 3y^2 + y = 2 - 3y2y - 3y^2 fixo e variando 2 - 3 times 12 times 1 - 3 times 1^2 = 2 - 32 - 3 = -1-1 = 1 )
Substituindo 2x^2 - 3(x + 2)x^2(x + 2) + 3x (x + 2)^2 - x(x + 2) na função:
2x^2 - 3x - 6x^3 + 2x^2 + 3x(x^2 + 4x + 4) - x^2 - 2x
Agora, substituindo 2x^2 - 3x - 6x^3 + 2x^2 + 3x^3 + 12x^2 + 12x - x^2 - 2x = 2x^2 - 3x - 64x^3 + 13x^2 + 10x :
2(-1)^2 - 3(-1) - 64(-1)^3 + 13(-1)^2 + 10(-1) = 2 times 1 + 3 - 6-4 + 13 - 10 = -1-1 = 1
Caminho 2: (mantendo fixo e variando )
Substituindo na função:
Agora, substituindo :
Caminho 3: (um caminho mais geral)
Substituindo na função:
Vamos simplificar:
Simplificando mais:
Agora, substituindo :

Resposta

O limite é .

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