Calcule, caso existam, os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntinhos! A gente tem que calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro da matéria de Cálculo de Limites em Funções de Várias Variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como os valores de e se comportam perto de e verificar se o limite existe e é o mesmo por todos os caminhos que chegam lá.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de e na função para ver o que acontece. Substituindo e :
Então, temos:

Passo 3

Agora, para ter certeza de que o limite é realmente 1, precisamos verificar se esse valor é o mesmo quando nos aproximamos de por diferentes caminhos. Isso porque, em funções de várias variáveis, o limite só existe se for o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar lá.
Vamos testar alguns caminhos simples:
Caminho 1: (mantendo fixo e variando )
Substituindo na função:
Agora, substituindo :
Caminho 2: (mantendo fixo e variando )
Substituindo na função:
Agora, substituindo :
Caminho 3: (um caminho mais geral)
Substituindo na função:
Vamos simplificar:
Simplificando mais:
Agora, substituindo :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Determine o domínio da função
Considere as curvas dadas por e . Determine o produto escalar e o produto vetorial .
Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites: