Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites: square
lim (x, y) (0,0) 2 x^3-y^3x^2 y+y^3

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa provar que o limite
lim(x, y) (0,0) 2x^3 - y^3x^2 y + y^3
não existe. Para isso, vamos usar o teste dos caminhos, que basicamente consiste em calcular o limite ao se aproximar do ponto por diferentes trajetórias (ou caminhos) e verificar se os resultados são iguais. Se os limites variarem dependendo do caminho escolhido, significa que o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa teste dos caminhos. Imagine que você está chegando no ponto de diferentes direções: por uma reta, por uma curva, etc. Se, ao calcular o limite ao longo desses diferentes caminhos, obtivermos valores diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos começar escolhendo o caminho da reta limx 0 2x^3 - (k x)^3x^2 (k x) + (k x)^3 = limx 0 2x^3 - k^3x^3k x^3 + k^3x^3 = limx 0 x^3(2 - k^3)x^3(k + k^3) = 2 - k^3k + k^3 , onde é uma constante. Isso significa que estamos aproximando ao longo de uma linha reta inclinada.
Substituindo na expressão do limite:
Note que cancela, e o limite depende de .

Passo 4

Agora, vamos escolher duas retas diferentes e ver se os limites são diferentes.
  1. Primeira reta: 2 - 1^31 + 1^3 = 2 - 11 + 1 = 12 ( 2 - 0^30 + 0^3 = 20 )
2 - (-1)^3-1 + (-1)^3 = 2 + 1-1 -1 = 3-2 = -32
  1. Segunda reta: ( )
Substituindo :
Aqui, temos uma indeterminação, mas vamos escolher outro caminho para ter clareza.
  1. Segunda reta alternativa: ( )

Passo 5

Observamos que ao escolher , o limite é , e ao escolher , o limite é . Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite
lim(x, y) (0,0) 2x^3 - y^3x^2 y + y^3
não existe, pois os valores do limite variam conforme o caminho de aproximação escolhido.

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