Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa provar que o limite
não existe. Para isso, vamos usar o teste dos caminhos, que basicamente consiste em calcular o limite ao se aproximar do ponto
por diferentes trajetórias (ou caminhos) e verificar se os resultados são iguais. Se os limites variarem dependendo do caminho escolhido, significa que o limite geral não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa teste dos caminhos. Imagine que você está chegando no ponto
de diferentes direções: por uma reta, por uma curva, etc. Se, ao calcular o limite ao longo desses diferentes caminhos, obtivermos valores diferentes, então o limite geral não existe.
Passo 3
Vamos começar escolhendo o caminho da reta
, onde
é uma constante. Isso significa que estamos aproximando
ao longo de uma linha reta inclinada.
Substituindo
na expressão do limite:
Note que
cancela, e o limite depende de
.
Passo 4
Agora, vamos escolher duas retas diferentes e ver se os limites são diferentes.
- Primeira reta:
( )
- Segunda reta:
( )
Substituindo
:
Aqui, temos uma indeterminação, mas vamos escolher outro caminho para ter clareza.
- Segunda reta alternativa:
( )
Passo 5
Observamos que ao escolher
, o limite é
, e ao escolher
, o limite é
. Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe, pois os valores do limite variam conforme o caminho de aproximação escolhido.
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