Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares. Isso significa que
e
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo. Essa mudança ajuda porque, à medida que
se aproxima de
,
tende a 0.
Passo 3
Substituindo
e
na expressão original, temos:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Porque
.
Passo 5
Agora, substituímos de volta na fração:
Passo 6
Observamos que
e
são funções limitadas, ou seja, seus valores estão sempre entre -1 e 1. Portanto, podemos dizer que:
Passo 7
À medida que
tende a 0,
também tende a 0. Como o valor absoluto da nossa expressão original é menor ou igual a uma função que tende a 0, pelo Teorema do Sanduíche, o limite também tende a 0.