(2,0) Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim (x, y) (0,0) 2 x^4 y^3x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares. Isso significa que e , onde é a distância até a origem e é o ângulo. Essa mudança ajuda porque, à medida que se aproxima de , tende a 0.

Passo 3

Substituindo 2 x^4 y^3x^2+y^2 = 2 (r cos(theta))^4 (r sin(theta))^3(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 e na expressão original, temos:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Numerador:
2 (r cos(theta))^4 (r sin(theta))^3 = 2 r^4 cos^4(theta) cdot r^3 sin^3(theta) = 2 r^7 cos^4(theta) sin^3(theta)
Denominador:
(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 = r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) = r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = r^2
Porque .

Passo 5

Agora, substituímos de volta na fração:
2 r^7 cos^4(theta) sin^3(theta)r^2 = 2 r^5 cos^4(theta) sin^3(theta)

Passo 6

Observamos que |2 r^5 cos^4(theta) sin^3(theta)| <= 2 r^5 e são funções limitadas, ou seja, seus valores estão sempre entre -1 e 1. Portanto, podemos dizer que:

Passo 7

À medida que tende a 0, também tende a 0. Como o valor absoluto da nossa expressão original é menor ou igual a uma função que tende a 0, pelo Teorema do Sanduíche, o limite também tende a 0.

Resposta

0

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