Determine o conjunto domínio e faça um esboço deste conjunto para cada uma das funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o domínio da função
e fazer um esboço desse conjunto. O domínio é basicamente todos os valores de
e
que fazem a função funcionar direitinho, sem causar nenhum problema como divisão por zero ou raízes de números negativos. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre raízes quadradas e frações na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da função:
. Para que essa expressão seja válida:
-
As raízes quadradas precisam estar definidas:
-
está definida quando ⇒ . -
está sempre definida porque , então .
-
-
O denominador não pode ser zero:
-
⇒ .
-
Passo 3
Vamos entender quando
:
- Elevando os dois lados ao quadrado:
- Simplificando:
Isso significa que quando
, o denominador é zero, o que não pode acontecer. Portanto, devemos excluir todos os pontos que satisfazem essa equação do nosso domínio.
Passo 4
Resumindo as condições:
-
(para a raiz quadrada ser real). -
(para evitar divisão por zero).
Então, o domínio da função é todo par de números reais
que satisfazem
e
.
Passo 5
Vamos agora esboçar esse domínio:
-
Primeiro, desenhamos a linha curva
. Essa é uma parábola que abre para a esquerda no plano . -
Depois, consideramos todos os pontos à esquerda dessa curva (porque
), mas removemos exatamente os pontos que estão na curva , já que além de , esses pontos fazem o denominador zero.
Portanto, o conjunto domínio é a região à esquerda da parábola
, incluindo todos os pontos com
, mas excluindo os pontos que estão exatamente na parábola.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
onde
e
. Esse conjunto pode ser esboçado como toda a região à esquerda da parábola
, incluindo
, mas excluindo os pontos sobre a parábola.
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no ponto (2,0) tem valor 1 .
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e a direção em que isso ocorre.
.