Determine o conjunto domínio e faça um esboço deste conjunto para cada uma das funções dadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o domínio da função e fazer um esboço desse conjunto. O domínio é basicamente todos os valores de e que fazem a função funcionar direitinho, sem causar nenhum problema como divisão por zero ou raízes de números negativos. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre raízes quadradas e frações na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da função: . Para que essa expressão seja válida:
  1. As raízes quadradas precisam estar definidas:
    • está definida quando .
    • está sempre definida porque , então .
  2. O denominador não pode ser zero:
    • .

Passo 3

Vamos entender quando :
  • Elevando os dois lados ao quadrado:
  • Simplificando:
Isso significa que quando , o denominador é zero, o que não pode acontecer. Portanto, devemos excluir todos os pontos que satisfazem essa equação do nosso domínio.

Passo 4

Resumindo as condições:
  1. (para a raiz quadrada ser real).
  2. (para evitar divisão por zero).
Então, o domínio da função é todo par de números reais que satisfazem e .

Passo 5

Vamos agora esboçar esse domínio:
  • Primeiro, desenhamos a linha curva . Essa é uma parábola que abre para a esquerda no plano .
  • Depois, consideramos todos os pontos à esquerda dessa curva (porque ), mas removemos exatamente os pontos que estão na curva , já que além de , esses pontos fazem o denominador zero.
Portanto, o conjunto domínio é a região à esquerda da parábola , incluindo todos os pontos com , mas excluindo os pontos que estão exatamente na parábola.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares onde e . Esse conjunto pode ser esboçado como toda a região à esquerda da parábola , incluindo , mas excluindo os pontos sobre a parábola.

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Determine a taxa de variação máxima da função em e a direção em que isso ocorre. .
Determine o conjunto domínio e faça um esboço deste conjunto para cada uma das funções dadas.
Calcule, caso existam, os seguintes limites: