(2,0) Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites: lim (x, y) (0,0) 2 x^3-y^3x^2 y+y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que o limite não existe, usando o teste dos caminhos. Isso está ligado ao estudo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos verificar se o limite é diferente quando nos aproximamos de por caminhos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o caminho onde 2x^3 - 0x^2 cdot 0 + 0 = 2x^30 . Isso significa que estamos nos aproximando de ao longo do eixo . Substituindo na função, temos:
Aqui, o denominador é zero e o numerador também tende a zero, o que é uma forma indeterminada. Mas, observando que tanto o numerador quanto o denominador têm termos de grau 3 e 3 respectivamente, podemos simplificar. No entanto, nesse caso específico, notamos que para , a função não está bem definida, já que estamos dividindo por zero. Então, o limite ao longo desse caminho não existe.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho para nos aproximarmos de 2x^3 - x^3x^2 cdot x + x^3 = x^3x^3 + x^3 = x^32x^3 = 12 . Vamos tentar . Substituindo na fun�o, temos:
Aqui, o limite é quando tende a zero.

Passo 4

Vamos escolher mais um caminho para confirmar a existência de diferentes limites. Agora, vamos tentar 2x^3 - (-x)^3x^2 cdot (-x) + (-x)^3 = 2x^3 + x^3-x^3 - x^3 = 3x^3-2x^3 = -32 . Substituindo na função, temos:
Aqui, o limite é quando tende a zero.

Resposta

Como obtivemos limites diferentes ( e ) ao nos aproximarmos de por caminhos diferentes, concluímos que o limite não existe.

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