Determine o conjunto domínio e faça um esboço deste conjunto para cada uma das funções dadas.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial e queremos determinar o conjunto domínio dessa função, ou seja, os valores de para os quais todas as componentes da função estão definidas. Além disso, precisamos fazer um esboço desse conjunto domínio para cada uma das funções que compõem . Vamos precisar entender um pouco sobre o domínio de funções logarítmicas, funções racionais com radicais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira componente da função , que é . Sabemos que a função logarítmica natural está definida apenas para . Isso porque o logaritmo de números negativos ou zero não existe nos números reais.
Resumo:
á

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . Para que essa expressão esteja definida, precisamos garantir duas coisas:
  1. O denominador não pode ser zero, ou seja, .
  2. O radicando deve ser maior que zero para que a raiz quadrada seja real.
Vamos resolver essas condições:
  • implica
  • Além disso, , mas isso já está incluso na condição acima.
Resumo:
á

Passo 4

Por fim, analisamos a terceira componente: . A função cosseno é uma função trigonométrica que está definida para todos os números reais. Ou seja, não há restrições no domínio dessa função.
Resumo:
á

Passo 5

Agora, para encontrar o domínio da função vetorial , precisamos identificar os valores de que satisfazem todas as condições das componentes simultaneamente. Ou seja, o domínio de será a interseção dos domínios de e , já que não impõe restrições.
Temos:
  • definido para
  • definido para
A interseção dessas condições é:

Passo 6

Agora vamos fazer um esboço desse conjunto domínio para cada uma das funções:
  1. : Está definido para . No eixo dos , isso corresponde a todos os valores à direita de zero.
  2. : Está definido para . No eixo dos , isso corresponde a um intervalo central entre e .
  3. : Está definido para todos os , então o eixo é todo a linha dos números reais.
Esboço do domínio de :
t
|
|----------|==========|----------|
-√2        0        √2
A parte sombreada (representada por “==========”) indica onde todas as funções estão definidas simultaneamente, ou seja, .

Resposta

O conjunto domínio da função é .

Exercícios relacionados

Determine o conjunto domínio e faça um esboço deste conjunto para cada uma das funções dadas.
Determine as direções em que a derivada direcional de no ponto (2,0) tem valor 1 .
Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Calcule, caso existam, os seguintes limites: