Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da função quando
se aproxima de
. Nesse problema, vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de várias variáveis, além de algumas propriedades de funções trigonométricas e radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de
.
No numerador:
Quando
e
:
E sabemos que , então o numerador tende a
.
No denominador:
Quando
e
:
Então, o denominador também tende a
.
Isso nos dá uma indeterminação do tipo
, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão para resolver a indeterminação. Primeiro, observamos que pode ser aproximado por
quando
está próximo de
, usando a aproximação para
pequeno.
Então, podemos substituir:
Nossa expressão fica:
Agora, vamos fatorar o numerador:
Passo 4
Vamos analisar o denominador
. Para simplificar, podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é
:
Note que
e
, então:
Isso cancela com o termo
no numerador:
Passo 5
Agora, nossa expressão simplificada para o limite é:
Vamos calcular o limite quando
:
Substituindo:
Resposta
O limite é igual a
.
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