(2,0) Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim (x, y) (1^+, 0^+) (x-y-1) sen(x y)raizx-1-raizy

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de . Nesse problema, vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de várias variáveis, além de algumas propriedades de funções trigonométricas e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando (x - y - 1) cdot sen(xy) se aproxima de x - y - 1 to 1 - 0 - 1 = 0 .
No numerador:
Quando xy to 1 times 0 = 0 e raizx - 1 - raizy :
raizx - 1 to raiz0^+ = 0
raizy to raiz0^+ = 0
E sabemos que , então o numerador tende a .
No denominador:
Quando e :
Então, o denominador também tende a .
Isso nos dá uma indeterminação do tipo , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para resolver a indeterminação. Primeiro, observamos que pode ser aproximado por sen(xy) approx xy quando (x - y - 1) cdot xyraizx - 1 - raizy está próximo de (x - y - 1) cdot xy = (x - 1 - y) cdot xy , usando a aproximação para pequeno.
Então, podemos substituir:
Nossa expressão fica:
Agora, vamos fatorar o numerador:

Passo 4

Vamos analisar o denominador (x - 1 - y) cdot xyraizx - 1 - raizy times raizx - 1 + raizyraizx - 1 + raizy = (x - 1 - y) cdot xy (raizx - 1 + raizy)(x - 1) - y . Para simplificar, podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é (x - 1) - y = x - y - 1 :
(x - y - 1) cdot xy (raizx - 1 + raizy)x - y - 1 = xy (raizx - 1 + raizy)
Note que e , então:
Isso cancela com o termo no numerador:

Passo 5

Agora, nossa expressão simplificada para o limite é:
xy (raizx - 1 + raizy)
Vamos calcular o limite quando x to 1, y to 0 :
1 times 0 times (raiz1 - 1 + raiz0) = 1 times 0 times (0 + 0) = 0
Substituindo:

Resposta

O limite é igual a .

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