Calcule, caso existam, os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de . Nesse problema, vamos usar conceitos de cálculo de limites em funções de várias variáveis, além de algumas propriedades de funções trigonométricas e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de .
No numerador:
Quando e :
E sabemos que , então o numerador tende a .
No denominador:
Quando e :
Então, o denominador também tende a .
Isso nos dá uma indeterminação do tipo , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para resolver a indeterminação. Primeiro, observamos que pode ser aproximado por quando está próximo de , usando a aproximação para pequeno.
Então, podemos substituir:
Nossa expressão fica:
Agora, vamos fatorar o numerador:

Passo 4

Vamos analisar o denominador . Para simplificar, podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é :
Note que e , então:
Isso cancela com o termo no numerador:

Passo 5

Agora, nossa expressão simplificada para o limite é:
Vamos calcular o limite quando :
Substituindo:

Resposta

O limite é igual a .

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