(2,0) Calcule, caso existam, os seguintes limites:
1,6
(a) lim t 1 F(t)=(3 t^5+2 t^2+3) i+4 t^23 t-2 j+ln (t^2+1) k
(b) lim t 2 F(t), onde F(t)=t^2-4t+2 i+sen(pi / t)t j+2 t k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular os limites de duas funções vetoriais. A matéria envolvida aqui é cálculo de limites, especificamente para funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de limites para funções escalares em cada componente vetorial e verificar se os limites existem.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a). Temos a função vetorial:
F(t) = (3t^5 + 2t^2 + 3) i + 4t^23t - 2 j + ln(t^2 + 1) k
Queremos encontrar o limite quando se aproxima de 1.

Passo 3

Vamos calcular o limite de cada componente separadamente.
Componente limt to 1 (3t^5 + 2t^2 + 3) :
3(1)^5 + 2(1)^2 + 3 = 3 + 2 + 3 = 8
Como é uma função polinomial, basta substituir limt to 1 4t^23t - 2 :
4(1)^23(1) - 2 = 43 - 2 = 41 = 4
Componente limt to 1 ln(t^2 + 1) :
ln(1^2 + 1) = ln(2)
Substituindo :
Componente :
Substituindo :

Passo 4

Agora, juntando os limites das três componentes, temos:
limt to 1 F(t) = 8 i + 4 j + ln(2) k

Passo 5

Passando para a parte (b), a função vetorial é:
F(t) = t^2 - 4t + 2 i + sin(pi / t)t j + 2t k
Queremos encontrar o limite quando se aproxima de 2.

Passo 6

Vamos calcular o limite de cada componente.
Componente limt to 2 t^2 - 4t + 2 :
t^2 - 4 = (t - 2)(t + 2)
Observamos que (t - 2)(t + 2)t + 2 = t - 2 (para t neq -2) pode ser fatorado:
2 - 2 = 0
Então,
limt to 2 sin(pi / t)t
Agora, substituindo sin(pi / 2)2 = 12 :
limt to 2 2t = 2 times 2 = 4
Componente :
Substituindo :
Componente :

Passo 7

Juntando os limites das três componentes, temos:
limt to 2 F(t) = 0 i + 12 j + 4 k

Resposta

(a)
(b)

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