Dados os vetores arbitrários u e v, mostre que
e
são vetores do mesmo comprimento.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem dois vetores qualquer, chamados de u e v. A questão quer que a gente mostre que quando a gente multiplica o v pelo tamanho (ou seja, a magnitude) de u, e faz o contrário (multiplica o u pela magnitude de v), os dois novos vetores resultantes têm o mesmo comprimento. Vamos usar conceitos básicos de vetores e magnitude para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a magnitude de um vetor. A magnitude de um vetor u, escrita como
, é basicamente o seu comprimento. Se a gente tem um vetor u com componentes
, por exemplo, a magnitude é calculada assim:
Mas, para simplificar, a gente só precisa saber que
e
são números que representam o comprimento dos vetores u e v, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o comprimento dos dois vetores que a gente quer comparar:
-
Primeiro Vetor:Quando a gente multiplica o vetor v por
, o novo vetor tem o mesmo direção de v, mas seu comprimento é aumentado por . A magnitude desse vetor fica assim: -
Segundo Vetor:De maneira similar, multiplicando u por
, o novo vetor tem o mesmo direção de u, e seu comprimento é aumentado por . A magnitude desse vetor é:
Passo 4
Observa que as duas magnitudes que calculamos são iguais:
Isso porque a multiplicação de números reais é comutativa, ou seja, não importa a ordem, o resultado é o mesmo.
Resposta
Portanto,
e
são vetores com o mesmo comprimento.
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(b)
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(b)
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