Dados os vetores arbitrários u e v, mostre que |u| cdot v e |v| cdot u são vetores do mesmo comprimento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem dois vetores qualquer, chamados de u e v. A questão quer que a gente mostre que quando a gente multiplica o v pelo tamanho (ou seja, a magnitude) de u, e faz o contrário (multiplica o u pela magnitude de v), os dois novos vetores resultantes têm o mesmo comprimento. Vamos usar conceitos básicos de vetores e magnitude para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a magnitude de um vetor. A magnitude de um vetor u, escrita como |u| = raizux^2 + uy^2 , é basicamente o seu comprimento. Se a gente tem um vetor u com componentes , por exemplo, a magnitude é calculada assim:
Mas, para simplificar, a gente só precisa saber que e são números que representam o comprimento dos vetores u e v, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o comprimento dos dois vetores que a gente quer comparar:
  1. Primeiro Vetor: | |u| cdot v | = |u| cdot |v|
    Quando a gente multiplica o vetor v por | |v| cdot u | = |v| cdot |u| , o novo vetor tem o mesmo direção de v, mas seu comprimento é aumentado por . A magnitude desse vetor fica assim:
  2. Segundo Vetor:
    De maneira similar, multiplicando u por , o novo vetor tem o mesmo direção de u, e seu comprimento é aumentado por . A magnitude desse vetor é:

Passo 4

Observa que as duas magnitudes que calculamos são iguais:
|u| cdot |v| = |v| cdot |u|
Isso porque a multiplicação de números reais é comutativa, ou seja, não importa a ordem, o resultado é o mesmo.

Resposta

Portanto, e são vetores com o mesmo comprimento.

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