Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
(a)
0,3
(b) F(t)=sentcos t i+ln (2+3 t^2) j+4 pi k
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de duas curvas vetoriais dadas. Isso envolve calcular a derivada de cada componente da função vetorial em relação a . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos lá!
Passo 2
Parte (a): A função vetorial é
F(t) = (2 t^2+3)^2(t+4) i + (4 t^3 - 2 t^2 + 1) j + e^t k
Vamos derivar cada componente em relação a .
Passo 3
Primeiro, vamos derivar a componente (2 t^2+3)^2(t+4) :
ddt[u(t)v(t)] = u'(t)v(t) + u(t)v'(t)
Aqui, temos um produto de duas funções: e . Usaremos a regra do produto:
Passo 4
Calculando u(t) = (2 t^2+3)^2 :
u'(t) = 2 (2 t^2+3) cdot ddt(2 t^2+3) = 2 (2 t^2+3) cdot 4 t = 8 t (2 t^2+3)
Juntando todas as derivadas das componentes, a derivada da função vetorial F'(t) = [8 t (2 t^2+3)(t + 4) + (2 t^2+3)^2] i + (12 t^2 - 4 t) j + e^t k na parte (a) é:
Passo 11
Parte (b): A função vetorial é
F(t) = sin tcos t i + ln (2 + 3 t^2) j + 4 pi k
Vamos derivar cada componente em relação a .
Passo 12
Primeiro, vamos derivar a componente sin tcos t = tan t :
ddt(sin tcos t) = sec^2 t
A derivada de é , ou seja:
Passo 13
Agora, derivamos a componente ln (2 + 3 t^2) :
ddt ln(u) = u'u, onde u = 2 + 3 t^2
Usamos a regra da cadeia:
u'(t) = 6 t
Calculando ddt ln (2 + 3 t^2) = 6 t2 + 3 t^2 :
Portanto:
Passo 14
Por fim, derivamos a componente 4 pi :
ddt(4 pi) = 0
Como é uma constante, sua derivada é zero:
Resposta
A derivada das curvas são:
(a)
F'(t) = [8 t (2 t^2+3)(t + 4) + (2 t^2+3)^2] i + (12 t^2 - 4 t) j + e^t k