Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
(a)
0,3
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de duas curvas vetoriais dadas. Isso envolve calcular a derivada de cada componente da função vetorial em relação a . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): A função vetorial é
Vamos derivar cada componente em relação a .

Passo 3

Primeiro, vamos derivar a componente :
Aqui, temos um produto de duas funções: e . Usaremos a regra do produto:

Passo 4

Calculando :
Usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do produto:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Passo 8

Agora, derivamos a componente :
Derivando termo a termo:
Portanto:

Passo 9

Por fim, derivamos a componente :
A derivada de em relação a é simplesmente .

Passo 10

Juntando todas as derivadas das componentes, a derivada da função vetorial na parte (a) é:

Passo 11

Parte (b): A função vetorial é
Vamos derivar cada componente em relação a .

Passo 12

Primeiro, vamos derivar a componente :
A derivada de é , ou seja:

Passo 13

Agora, derivamos a componente :
Usamos a regra da cadeia:
Calculando :
Portanto:

Passo 14

Por fim, derivamos a componente :
Como é uma constante, sua derivada é zero:

Resposta

A derivada das curvas são:
(a)
(b)

Exercícios relacionados

Calcule, caso existam, os seguintes limites:
1,6
(a)
(b) , onde
Considere as funções dadas por e . Determine:
0.8
(a) O domínio de e
© O produto escalar
(b) A soma
(d) O produto vetorial
Dados os vetores arbitrários u e v, mostre que e são vetores do mesmo comprimento.
Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan e eliminação Gaussiana.
(b)