(2,0) Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
(a) F(t)=(2 t^2+3)^2(t+4) i+(4 t^3-2 t^2+1) j+e^t k
0,3
(b) F(t)=sentcos t i+ln (2+3 t^2) j+4 pi k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de duas curvas vetoriais dadas. Isso envolve calcular a derivada de cada componente da função vetorial em relação a . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): A função vetorial é
F(t) = (2 t^2+3)^2(t+4) i + (4 t^3 - 2 t^2 + 1) j + e^t k
Vamos derivar cada componente em relação a .

Passo 3

Primeiro, vamos derivar a componente (2 t^2+3)^2(t+4) :
ddt[u(t)v(t)] = u'(t)v(t) + u(t)v'(t)
Aqui, temos um produto de duas funções: e . Usaremos a regra do produto:

Passo 4

Calculando u(t) = (2 t^2+3)^2 :
u'(t) = 2 (2 t^2+3) cdot ddt(2 t^2+3) = 2 (2 t^2+3) cdot 4 t = 8 t (2 t^2+3)
Usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Calculando v(t) = t + 4 Rightarrow v'(t) = 1 :

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do produto:
ddt[(2 t^2+3)^2(t+4)] = 8 t (2 t^2+3)(t + 4) + (2 t^2+3)^2(1)

Passo 7

Simplificando a expressão:
8 t (2 t^2+3)(t + 4) + (2 t^2+3)^2

Passo 8

Agora, derivamos a componente 4 t^3 - 2 t^2 + 1 :
ddt(4 t^3) = 12 t^2, ddt(-2 t^2) = -4 t, ddt(1) = 0
Derivando termo a termo:
ddt(4 t^3 - 2 t^2 + 1) = 12 t^2 - 4 t
Portanto:

Passo 9

Por fim, derivamos a componente e^t :
A derivada de em relação a é simplesmente .

Passo 10

Juntando todas as derivadas das componentes, a derivada da função vetorial F'(t) = [8 t (2 t^2+3)(t + 4) + (2 t^2+3)^2] i + (12 t^2 - 4 t) j + e^t k na parte (a) é:

Passo 11

Parte (b): A função vetorial é
F(t) = sin tcos t i + ln (2 + 3 t^2) j + 4 pi k
Vamos derivar cada componente em relação a .

Passo 12

Primeiro, vamos derivar a componente sin tcos t = tan t :
ddt(sin tcos t) = sec^2 t
A derivada de é , ou seja:

Passo 13

Agora, derivamos a componente ln (2 + 3 t^2) :
ddt ln(u) = u'u, onde u = 2 + 3 t^2
Usamos a regra da cadeia:
u'(t) = 6 t
Calculando ddt ln (2 + 3 t^2) = 6 t2 + 3 t^2 :
Portanto:

Passo 14

Por fim, derivamos a componente 4 pi :
ddt(4 pi) = 0
Como é uma constante, sua derivada é zero:

Resposta

A derivada das curvas são:
(a)
F'(t) = [8 t (2 t^2+3)(t + 4) + (2 t^2+3)^2] i + (12 t^2 - 4 t) j + e^t k
(b)
F'(t) = sec^2 t , i + 6 t2 + 3 t^2 , j + 0 , k

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