Calcule, caso existam, os seguintes limites. lim (x, y) (0,0) y cdot cos (1x^2+y^2)

Passo 1

Estamos querendo calcular o limite de quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a função cosseno sempre está entre -1 e 1. Ou seja:
-1 <= cos(1x^2 + y^2) <= 1

Passo 3

Agora, vamos multiplicar tudo pela variável - y <= y cdot cos(1x^2 + y^2) <= y . Assim, temos:
- |y| <= y cdot cos(1x^2 + y^2) <= |y|
Como estamos procurando o limite quando se aproxima de 0, podemos usar o valor absoluto para facilitar:

Passo 4

Sabemos que tende a 0 quando tende a 0. Portanto, tanto quanto vão para 0.

Passo 5

Usando o Teorema do Sanduíche, que nos diz que se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Assim:
lim(x, y) to (0, 0) y cdot cos(1x^2 + y^2) = 0

Resposta

O limite é 0.

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