Seja e . Calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício! A gente tem a função e o vetor . O que a gente precisa fazer é calcular o gradiente de , que é , e a derivada de em relação a , que é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas parciais e derivadas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  • Derivada parcial de em relação a :
  • Derivada parcial de em relação a :
Portanto, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a . A derivada de um vetor função em relação a é simplesmente o vetor das derivadas das suas componentes.
Ou seja:
Calculando cada derivada:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
Então, a derivada de é:

Resposta

O gradiente de é e a derivada de em relação a é .

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Determine:
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