Seja
e
. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício! A gente tem a função
e o vetor
. O que a gente precisa fazer é calcular o gradiente de
, que é
, e a derivada de
em relação a
, que é
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas parciais e derivadas de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de
. O gradiente
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Portanto, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
. A derivada de um vetor função em relação a
é simplesmente o vetor das derivadas das suas componentes.
Ou seja:
Calculando cada derivada:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Então, a derivada de
é:
Resposta
O gradiente de
é
e a derivada de
em relação a
é
.