Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão . Estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente utilizando propriedades das funções trigonométricas e limites de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que a função seno está sempre limitada entre -1 e 1, o que vai ser fundamental na nossa resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função seno que aparece na expressão: . Sabemos que, independente do valor de
, o seno sempre estará entre -1 e 1. Isso nos dá a seguinte desigualdade:
Passo 3
Agora, multiplicamos toda a desigualdade por
. Como
é positivo quando
se aproxima de 0, a desigualdade mantém a mesma direção:
Passo 4
Sabemos que
. Portanto, tanto o limite de
quanto o de
quando
se aproxima de 0 é 0.
Passo 5
Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Apreensão), se uma função está “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela própria também tem esse limite. Aplicando isso aqui:
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Resposta
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Calcule, caso existam, os seguintes limites.
Determine:
Calcule
Determine: