Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente utilizando propriedades das funções trigonométricas e limites de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que a função seno está sempre limitada entre -1 e 1, o que vai ser fundamental na nossa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função seno que aparece na expressão: . Sabemos que, independente do valor de , o seno sempre estará entre -1 e 1. Isso nos dá a seguinte desigualdade:

Passo 3

Agora, multiplicamos toda a desigualdade por . Como é positivo quando se aproxima de 0, a desigualdade mantém a mesma direção:

Passo 4

Sabemos que . Portanto, tanto o limite de quanto o de quando se aproxima de 0 é 0.

Passo 5

Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Apreensão), se uma função está “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela própria também tem esse limite. Aplicando isso aqui:
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Resposta

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Calcule, caso existam, os seguintes limites.
Determine:
Calcule
Determine: